1.20 Dada a matriz,
A=[ll 5 & 2 0 & k ]
Encontre todos os valores de k tais que A seja uma raiz do polinômio f(x)=x^2-7 x+10.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 5 & 2 0 & k
e o polinômio f(x)=x^2-7x+10. Queremos encontrar todos os valores de k tais que
f(A) = A^2 -7A +10I = O

Passo 2

Calcular A^2 por produto de matrizes:
A^2 = 5 & 2 0 & k 5 & 2 0 & k = 25 & 10 + 2k 0 & k^2

Passo 3

Calcular os demais termos de f(A):
-7A = -35 & -14 0 & -7k, 10I = 10 & 0 0 & 10
Somando estes três termos:
f(A) = 25 & 10+2k 0 & k^2 + -35 & -14 0 & -7k + 10 & 0 0 & 10 = 0 & 2k-4 0 & k^2-7k+10

Passo 4

Para f(A)=O precisamos que
2k - 4 = 0 e k^2 - 7k + 10 = 0
A primeira dá k=2. A segunda fatoriza como (k-2)(k-5)=0, cujas raízes são k=2 e k=5. O valor comum que satisfaz ambas é
k = 2

Resposta

k=2

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