Questāo 2 (2,0 pontos)
Um bloco de massa m=0,50 \mathrm{~kg} está preso a uma mola ideal de constante elástica k= 200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco é puxado até uma distância A=8,0 \mathrm{~cm} da posição de equilíbrio e solto. Em determinado instante, o bloco está na posição x=3,0 \mathrm{~cm}, medida a partir da posição de equilíbrio.
Determine:
b) o período de oscilação;

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado e observei a figura enviada).
  • Dados:
    • m = 0,50\\ \mathrm{kg}.
    • k = 200\\ \mathrm{N/m}.
    • Amplitude inicial A = 8,0\\ \mathrm{cm} (não será necessária para o período, mas foi dada).
    • Em um instante o bloco está em x = 3,0\\ \mathrm{cm} (informação de posição, também não necessária para o período).
  • O que se pede (apenas a parte b):
    • Determinar o período de oscilação do sistema massa-mola.

Passo 2

Descrever o modelo físico e a equação básica que descreve o movimento (a partir do diagrama massa presa a mola sobre superfície sem atrito).
  • A força restauradora da mola é dada pela Lei de Hooke: F = -k x, onde x é a elongação em relação à posição de equilíbrio.
  • Aplicando a segunda lei de Newton F = m a com a = \ddot{x} (a derivada segunda de x em relação ao tempo), obtém-se a equação do movimento:
m\,\ddot{x} + k\,x = 0.
  • Aqui \ddot{x} significa a aceleração (segunda derivada temporal de x).

Passo 3

Resolver (ou usar o resultado padrão) da equação diferencial para obter a frequência angular e o período.
  • A equação m\,\ddot{x}+k\,x=0 tem solução harmônica simples do tipo x(t)=X\cos(\omega t+\varphi).
  • A frequência angular \omega satisfaz
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.
  • O período T (tempo de uma oscilação completa) é relacionado a \omega por
T = \dfrac{2\pi}{\omega}.
  • Substituindo \omega obtemos a fórmula prática usada em provas:
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}.

Passo 4

Explicar o que cada símbolo significa e unidades (para você não se perder na prova).
  • T é o período em segundos ( \mathrm{s}).
  • m é a massa em quilogramas ( \mathrm{kg}).
  • k é a constante elástica em newtons por metro ( \mathrm{N/m}).
  • \omega é a frequência angular em radianos por segundo ( \mathrm{rad/s}).
  • Observação importante: o período T depende apenas de m e k; a amplitude A não altera T no oscilador harmônico ideal.

Passo 5

Aplicar a fórmula T = 2\pi\sqrt{m/k} com os valores dados — primeiro calcular a razão m/k.
\dfrac{m}{k}=\dfrac{0,50}{200}=0,0025\quad(\mathrm{s}^2).

Passo 6

Calcular a raiz quadrada de m/k.
\sqrt{\dfrac{m}{k}}=\sqrt{0,0025}=0,05\quad(\mathrm{s}).
(Verificação rápida: 0,05^2=0,0025.)

Passo 7

Calcular o período usando o valor obtido.
T=2\pi\cdot 0,05=0,1\pi\\ \mathrm{s}=0,314159\ldots\\ \mathrm{s}\approx 0,314\\ \mathrm{s}.

Resposta

T=0,314\\ \mathrm{s}

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