19-21 Find the local maximum and minimum values of
using both the First and Second Derivative Tests. Which method do you prefer?
19.
19.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais (máximo e mínimo locais) da função
e usar tanto o Primeiro Teste da Derivada quanto o Segundo Teste da Derivada. A função dada é
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
. - Queremos localizar pontos críticos onde
(ou indefinida, o que não ocorre aqui) e classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois. - Devemos aplicar os dois testes (Primeiro e Segundo Teste da Derivada) e dizer qual método prefiro.
Passo 2
Calcular a primeira derivada
, lembrando a regra básica: a derivada de
é
e a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo
.
Dividindo por
:
Fatorando
como diferença de quadrados:
Como
para todo
, as raízes reais vêm de
e
. Logo os pontos críticos reais são
Passo 4
Aplicando o Primeiro Teste da Derivada (análise de sinais de
ao redor dos pontos críticos).
Princípio: se muda de positivo para negativo em um ponto crítico, então há um máximo local; se muda de negativo para positivo, há um mínimo local; se não muda de sinal, não há extremo local.
Princípio: se
Observação útil: da fatoração acima temos
Como
e
sempre, o sinal de
é o mesmo do produto
.
Analisando intervalos determinados por
e
:
- Para
(por exemplo ): → . - Para
(por exemplo ): → . - Para
(por exemplo ): → .
Portanto:
- Em
o sinal de muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) → máximo local em . - Em
o sinal de muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) → mínimo local em .
Calcular os valores da função nesses pontos:
Conclusão pelo Primeiro Teste:
- Máximo local em
com valor . - Mínimo local em
com valor .
Passo 5
Aplicando o Segundo Teste da Derivada.
Princípio: se em um ponto crítico
, então
é côncava para cima ali e
é mínimo local; se
,
é côncava para baixo ali e
é máximo local; se
, o teste é inconclusivo.
Princípio: se
Calcular
derivando
:
Avaliar em cada ponto crítico:
Os resultados do Segundo Teste coincidem com os do Primeiro Teste.
Passo 6
Resumo e preferência de método (curtinho, honesto e útil):
- Ambos os testes deram as mesmas conclusões e são rápidos aqui. O Segundo Teste foi muito direto (basta calcular
e avaliá-la nos pontos críticos), então eu pessoalmente prefiro o Segundo Teste quando consigo calcular facilmente — ele costuma ser mais rápido e menos sujeito a erros de fazer um quadro de sinais. Porém, o Primeiro Teste dá uma visão qualitativa do comportamento da função (cresce/decresce) que é pedagogicamente valiosa e essencial quando ou quando queremos entender melhor a função.
Resposta
Máximo local: em
, com valor
.
Mínimo local: em , com valor
.
Preferência: prefiro o Segundo Teste da Derivada quando é fácil de calcular; uso o Primeiro Teste quando quero entender o comportamento ou quando
.
Mínimo local: em
Preferência: prefiro o Segundo Teste da Derivada quando