19-21 Find the local maximum and minimum values of f using both the First and Second Derivative Tests. Which method do you prefer?
19. f(x)=x^{5}-5 x+3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais (máximo e mínimo locais) da função f e usar tanto o Primeiro Teste da Derivada quanto o Segundo Teste da Derivada. A função dada é
f(x)=x^{5}-5x+3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x).
  • Queremos localizar pontos críticos onde f'(x)=0 (ou f' indefinida, o que não ocorre aqui) e classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois.
  • Devemos aplicar os dois testes (Primeiro e Segundo Teste da Derivada) e dizer qual método prefiro.

Passo 2

Calcular a primeira derivada f'(x), lembrando a regra básica: a derivada de x^{n} é n x^{n-1} e a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Derivando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(5x\bigr)+\frac{d}{dx}(3)
f'(x)=5x^{4}-5+0
f'(x)=5x^{4}-5.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0.
5x^{4}-5=0
Dividindo por 5:
x^{4}-1=0.
Fatorando x^{4}-1 como diferença de quadrados:
x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)=(x-1)(x+1)(x^{2}+1).
Como x^{2}+1>0 para todo x, as raízes reais vêm de x-1=0 e x+1=0. Logo os pontos críticos reais são
x=-1\quad\text{e}\quad x=1.

Passo 4

Aplicando o Primeiro Teste da Derivada (análise de sinais de f' ao redor dos pontos críticos).
Princípio: se f' muda de positivo para negativo em um ponto crítico, então há um máximo local; se muda de negativo para positivo, há um mínimo local; se não muda de sinal, não há extremo local.
Observação útil: da fatoração acima temos
f'(x)=5(x-1)(x+1)(x^{2}+1).
Como 5>0 e x^{2}+1>0 sempre, o sinal de f'(x) é o mesmo do produto (x-1)(x+1)=x^{2}-1.
Analisando intervalos determinados por x=-1 e x=1:
  • Para x<-1 (por exemplo x=-2): x^{2}-1>0 f'(x)>0.
  • Para -1<x<1 (por exemplo x=0): x^{2}-1<0 f'(x)<0.
  • Para x>1 (por exemplo x=2): x^{2}-1>0 f'(x)>0.
Portanto:
  • Em x=-1 o sinal de f' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) → máximo local em x=-1.
  • Em x=1 o sinal de f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) → mínimo local em x=1.
Calcular os valores da função nesses pontos:
f(-1)=(-1)^{5}-5(-1)+3=-1+5+3=7,
f(1)=1^{5}-5(1)+3=1-5+3=-1.
Conclusão pelo Primeiro Teste:
  • Máximo local em x=-1 com valor f(-1)=7.
  • Mínimo local em x=1 com valor f(1)=-1.

Passo 5

Aplicando o Segundo Teste da Derivada.
Princípio: se f''\text{(c)}>0 em um ponto crítico c, então f é côncava para cima ali e c é mínimo local; se f''\text{(c)}<0, f é côncava para baixo ali e c é máximo local; se f''\text{(c)}=0, o teste é inconclusivo.
Calcular f''(x) derivando f'(x)=5x^{4}-5:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{4}-5\bigr)=20x^{3}.
Avaliar em cada ponto crítico:
f''(1)=20(1)^{3}=20>0\quad\Rightarrow\quad x=1\\ \text{é mínimo local},éí
f''(-1)=20(-1)^{3}=20(-1)=-20<0\quad\Rightarrow\quad x=-1\\ \text{é máximo local}.éá
Os resultados do Segundo Teste coincidem com os do Primeiro Teste.

Passo 6

Resumo e preferência de método (curtinho, honesto e útil):
  • Ambos os testes deram as mesmas conclusões e são rápidos aqui. O Segundo Teste foi muito direto (basta calcular f'' e avaliá-la nos pontos críticos), então eu pessoalmente prefiro o Segundo Teste quando consigo calcular f'' facilmente — ele costuma ser mais rápido e menos sujeito a erros de fazer um quadro de sinais. Porém, o Primeiro Teste dá uma visão qualitativa do comportamento da função (cresce/decresce) que é pedagogicamente valiosa e essencial quando f''\text{(c)}=0 ou quando queremos entender melhor a função.

Resposta

Máximo local: em x=-1, com valor f(-1)=7.
Mínimo local: em x=1, com valor f(1)=-1.
Preferência: prefiro o Segundo Teste da Derivada quando f'' é fácil de calcular; uso o Primeiro Teste quando quero entender o comportamento ou quando f''=0.

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