(18)Um fio muito longo carregado uniformemente com densidade linear de carga lambda, contido no plano x y, tem uma extremidade na origem e estende até o ponto (L, 0,0 ), com L longrightarrow infty. Divida o fio em elementos de carga d q=lambda d x para calcular o campo elétrico em um ponto da perpendicular ao fio passando na origem.
©Calcule o ângulo formado pelo vetor campo elétrico E com o fio.

Passo 1

Beleza, a ideia é a seguinte: temos um fio com carga linear lambda que vai de x=0 até xtoinfty no eixo x. Queremos achar o campo elétrico num ponto P que fica na perpendicular ao fio passando pela origem (ou seja, P=(0,r,0)).
Conteúdo: Lei de Coulomb para distribuições contínuas de carga e integração de funções do tipo (x^2+r^2)^-3/2. Vamos usar superposição de campos e decompor em componentes x e y.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um elemento de carga infinitesimal dq=lambda,dx situado em (x,0,0). Pela Lei de Coulomb, a contribuição desse dq em P é
dvec E=14pivarepsilon0,dql|vec r-vec r'r|^2,hat r,,
onde vec r'=(x,0,0) e vec r=(0,r,0), então vec r-vec r' = (-x,;r,;0) e |vec r-vec r'|=raizx^2+r^2.
Para decompor em x e y, notamos que
hat r = (-x), i + r, jraizx^2+r^2,
Logo
$$dE_x = dE;\frac{-x}{\sqrt{x2+r2}},\quad
dE_y = dE;\frac{r}{\sqrt{x2+r2}},. $$

Passo 3

Substituindo dq=lambda,dx e dE=lambda,dx4pivarepsilon0,(x^2+r^2) já sem o vetor unitário, a gente tem
$$dE_x = -\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0},\frac{x,dx}{(x2+r2)^{3/2}},\quad
dE_y = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0},\frac{r,dx}{(x2+r2)^{3/2}},. $$
Agora integramos de dEx = -lambda4pivarepsilon0,x,dx(x^2+r^2)^3/2, dEy = lambda4pivarepsilon0,r,dx(x^2+r^2)^3/2, a x=0:
  1. Para xtoinfty:
$$E_x = -\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}{\infty}\frac{x,dx}{(x2+r2){3/2}}
= -\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r},. $$
  1. Para Ex:
Ex = -lambda4pivarepsilon0integral0^inftyx,dx(x^2+r^2)^3/2 = -lambda4pivarepsilon0cdot1r,

Passo 4

Agora, pra achar o ângulo theta entre vec E e o fio (eixo x), usamos
tantheta = Ey|Ex| = lambda4pivarepsilon0,r lambda4pivarepsilon0,r =1,
Logo
theta = arctan(1) = 45^circ,

Resposta

O vetor campo elétrico forma um ângulo de 45^circ com o fio.

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