18^{\mathrm{a}} Questão

Sabendo que z representa números complexos da forma z=x+i y, em que i é a unidade imaginária, para os quais valem as seguintes proposições:
I. \operatorname{Re}((1+\mathrm{i}) \mathrm{z}-1)=0;
II. |\mathrm{z}-\mathrm{i}|=|\mathrm{z}-1|;
III. \operatorname{Im}\left(\mathrm{z}^{2}\right)=2; e
IV. |z-2|=\operatorname{Re}(z).
Sobre as proposições acima, assinale a alternativa correta.
(A) I e II representam os conjuntos dos pontos z , no plano complexo, que satisfazem x-y=2 e x=y, respectivamente.
(B) II e III representam os conjuntos dos pontos z , no plano complexo, que satisfazem x=y e x^{2}+y^{2}=2, respectivamente.
(C) II e IV representam os conjuntos dos pontos z , no plano complexo, que satisfazem x+1=y e x^{2}=2(y-1), respectivamente.
(D) I e IV representam os conjuntos dos pontos z , no plano complexo, que satisfazem y=x-1 e x^{2}+y^{2}=1, respectivamente.
(E) III e IV representam os conjuntos dos pontos z, no plano complexo, que satisfazem \mathrm{yx}=1 e \mathrm{y}^{2}=4(\mathrm{x}-1), respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá que z=x+\mathrm{i}y (com x,y números reais) e fornece quatro proposições envolvendo z:
I. \operatorname{Re}((1+\mathrm{i})z-1)=0;\n
II. |z-\mathrm{i}|=|z-1|;\n
III. \operatorname{Im}\left(z^{2}\right)=2;\n
IV. |z-2|=\operatorname{Re}(z).\n
A tarefa é traduzir cada proposição para uma equação em x e y (o conjunto de pontos no plano complexo) e então verificar qual alternativa lista corretamente essas traduções.

Passo 2

Resolver a proposição I:\n
Calcule (1+\mathrm{i})z. Usando z=x+\mathrm{i}y:
(1+\mathrm{i})z=(1+\mathrm{i})(x+\mathrm{i}y)=x+\mathrm{i}y+\mathrm{i}x+\mathrm{i}^{2}y=(x-y)+\mathrm{i}(x+y).
Então
(1+\mathrm{i})z-1=(x-y-1)+\mathrm{i}(x+y).
A parte real é \operatorname{Re}((1+\mathrm{i})z-1)=x-y-1. A condição \operatorname{Re}((1+\mathrm{i})z-1)=0
x-y-1=0\quad\Rightarrow\quad x-y=1.
Em forma equivalente: y=x-1. (É uma reta no plano.)

Passo 3

Resolver a proposição II:\n
A igualdade de módulos |z-\mathrm{i}|=|z-1| pode ser tratada ao quadrado (isso evita raízes):
|z-\mathrm{i}|^{2}=|z-1|^{2}.
Escrevendo em x,y: z-\mathrm{i}=(x)+\mathrm{i}(y-1) e z-1=(x-1)+\mathrm{i}y. Então
|z-\mathrm{i}|^{2}=x^{2}+(y-1)^{2}, \qquad |z-1|^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}.
Igualando e expandindo:
x^{2}+y^{2}-2y+1 = x^{2}-2x+1+y^{2}.
Cancelam x^{2},y^{2},1, ficando -2y=-2x, isto é
x=y.
Portanto II representa a reta x=y. Geometricamente: é a mediatriz do segmento entre 1 e \mathrm{i}.

Passo 4

Resolver a proposição III:\n
Calcule z^{2} com z=x+\mathrm{i}y:
z^{2}=(x+\mathrm{i}y)^{2}=x^{2}+2\mathrm{i}xy+\mathrm{i}^{2}y^{2}=(x^{2}-y^{2})+\mathrm{i}(2xy).
A parte imaginária é \operatorname{Im}(z^{2})=2xy. A condição \operatorname{Im}(z^{2})=2
2xy=2\quad\Rightarrow\quad xy=1.
Portanto III representa a hipérbole xy=1.

Passo 5

Resolver a proposição IV:\n
Temos |z-2|=\operatorname{Re}(z). Escrevendo em x,y: |z-2|=\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}} e \operatorname{Re}(z)=x. Antes de elevar ao quadrado, observe que o módulo é não negativo, logo a igualdade só pode ocorrer se x\ge0. Mais adiante podemos obter uma condição mais forte.\n
Elevando ao quadrado:
(x-2)^{2}+y^{2}=x^{2}.
Expanda e simplifique:
x^{2}-4x+4+y^{2}=x^{2}\quad\Rightarrow\quad -4x+4+y^{2}=0.
Isolando y^{2}:
y^{2}=4x-4=4(x-1).
Além disso, da expressão y^{2}=4(x-1) segue 4(x-1)\ge0, então x\ge1 (isso já garante x\ge0). Portanto IV representa a parábola com equação
y^{2}=4(x-1),
aberta para a direita, vértice em (1,0), e restringida a x\ge1.

Passo 6

Agora compare as traduções obtidas com as alternativas:
  • I \Rightarrow x-y=1 (ou y=x-1).
  • II \Rightarrow x=y.
  • III \Rightarrow xy=1.
  • IV \Rightarrow y^{2}=4(x-1).
Verificando as alternativas dadas:
(A) diz I: x-y=2 (incorreto) e II: x=y (II correto, mas I errado).\n
(B) diz II: x=y (correto) e III: x^{2}+y^{2}=2 (incorreto).\n
(C) diz II: x+1=y (equivale a y=x+1, incorreto) e IV: x^{2}=2(y-1) (incorreto).\n
(D) diz I: y=x-1 (I correto) e IV: x^{2}+y^{2}=1 (incorreto).\n
(E) diz III: yx=1 (ou seja xy=1, correto) e IV: y^{2}=4(x-1) (correto).\n
A única alternativa que representa corretamente as duas proposições indicadas é a (E).

Passo 7

Parabéns — apesar do aperto de tempo, a estratégia direta (escrever z=x+\mathrm{i}y, separar partes real/imaginar e quadrar módulos quando necessário) resolve rápido e sem mistério. Respire fundo: você já destravou essa técnica para várias questões semelhantes.

Resposta

(E)

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