Questão
Sabendo que
representa números complexos da forma
, em que
é a unidade imaginária, para os quais valem as seguintes proposições:
I.
;
II.
;
III.
; e
IV.
.
Sobre as proposições acima, assinale a alternativa correta.
(A) I e II representam os conjuntos dos pontos z , no plano complexo, que satisfazem
e
, respectivamente.
(B) II e III representam os conjuntos dos pontos z , no plano complexo, que satisfazem
e
, respectivamente.
(C) II e IV representam os conjuntos dos pontos z , no plano complexo, que satisfazem
e
, respectivamente.
(D) I e IV representam os conjuntos dos pontos z , no plano complexo, que satisfazem
e
, respectivamente.
(E) III e IV representam os conjuntos dos pontos
, no plano complexo, que satisfazem
e
, respectivamente.
I.
II.
III.
IV.
(A) I e II representam os conjuntos dos pontos z , no plano complexo, que satisfazem
(B) II e III representam os conjuntos dos pontos z , no plano complexo, que satisfazem
(C) II e IV representam os conjuntos dos pontos z , no plano complexo, que satisfazem
(D) I e IV representam os conjuntos dos pontos z , no plano complexo, que satisfazem
(E) III e IV representam os conjuntos dos pontos
Passo 1
O enunciado dá que
(com
números reais) e fornece quatro proposições envolvendo
:
I. ;\n
II. ;\n
III. ;\n
IV. .\n
I.
II.
III.
IV.
A tarefa é traduzir cada proposição para uma equação em
e
(o conjunto de pontos no plano complexo) e então verificar qual alternativa lista corretamente essas traduções.
Passo 2
Resolver a proposição I:\n
Calcule . Usando
:
Calcule
Então
A parte real é
. A condição
dá
Em forma equivalente:
. (É uma reta no plano.)
Passo 3
Resolver a proposição II:\n
A igualdade de módulos pode ser tratada ao quadrado (isso evita raízes):
A igualdade de módulos
Escrevendo em
:
e
. Então
Igualando e expandindo:
Cancelam
, ficando
, isto é
Portanto II representa a reta
. Geometricamente: é a mediatriz do segmento entre
e
.
Passo 4
Resolver a proposição III:\n
Calcule com
:
Calcule
A parte imaginária é
. A condição
dá
Portanto III representa a hipérbole
.
Passo 5
Resolver a proposição IV:\n
Temos . Escrevendo em
:
e
. Antes de elevar ao quadrado, observe que o módulo é não negativo, logo a igualdade só pode ocorrer se
. Mais adiante podemos obter uma condição mais forte.\n
Elevando ao quadrado:
Temos
Elevando ao quadrado:
Expanda e simplifique:
Isolando
:
Além disso, da expressão
segue
, então
(isso já garante
). Portanto IV representa a parábola com equação
aberta para a direita, vértice em
, e restringida a
.
Passo 6
Agora compare as traduções obtidas com as alternativas:
- I
(ou ). - II
. - III
. - IV
.
Verificando as alternativas dadas:
(A) diz I: (incorreto) e II:
(II correto, mas I errado).\n
(B) diz II: (correto) e III:
(incorreto).\n
(C) diz II: (equivale a
, incorreto) e IV:
(incorreto).\n
(D) diz I: (I correto) e IV:
(incorreto).\n
(E) diz III: (ou seja
, correto) e IV:
(correto).\n
(A) diz I:
(B) diz II:
(C) diz II:
(D) diz I:
(E) diz III:
A única alternativa que representa corretamente as duas proposições indicadas é a (E).
Passo 7
Parabéns — apesar do aperto de tempo, a estratégia direta (escrever
, separar partes real/imaginar e quadrar módulos quando necessário) resolve rápido e sem mistério. Respire fundo: você já destravou essa técnica para várias questões semelhantes.
Resposta
(E)