18 Mostre que se A, B in Mn(C) são normais e A e barB^t comutam, então A B e B A são normais.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, sendo A e B matrizes normais em M_n(ℂ) e satisfazendo A bar{B}^t = bar{B}^t A (isto é, A comuta com B^*), então os produtos AB e BA também são normais. O conteúdo envolve definição de matriz normal e propriedades de adjunta e comutação.

Passo 2

Relembremos que uma matriz M é dita normal se
M M^* = M^* M
Também, se A comuta com B^*, ou seja,
A B^* = B^* A,
então, ao tomar adjunta em ambos os lados, obtemos que A^* comuta com B.

Passo 3

Aplicando adjunta na relação
A B^* = B^* A
recebemos
(A B^*)^* = (B^* A)^*,
o que dá
$$B A^* = A^* B.
$$
Logo, A^* comuta com B.

Passo 4

Para mostrar que AB é normal, calculemos as duas expressões:
(AB)(AB)^* = A B B^* A^*
e
(AB)^*(AB) = B^* A^* A B
Como A e A^* comutam tanto com B quanto com B^* (pelo já mostrado) e A, B são normais (logo A A^* = A^* A e B B^* = B^* B), podemos reorganizar fatores para obter
A B B^* A^* = B B^* A A^* = B^* B A^* A = B^* A^* A B
Assim,
(AB)(AB)^* = (AB)^*(AB),
logo AB é normal.

Passo 5

De modo análogo, para BA temos:
(BA)(BA)^* = B A A^* B^*
(BA)^*(BA) = A^* B^* B A
Usando as mesmas comutações e o fato de A e B serem normais, concluímos que
(BA)(BA)^* = (BA)^*(BA),
isto é, BA também é normal.

Resposta

AB e BA são normais.

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