18 Mostre que se
são normais e
e
comutam, então
e
são normais.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que, sendo A e B matrizes normais em M_n(ℂ) e satisfazendo A bar{B}^t = bar{B}^t A (isto é, A comuta com B^*), então os produtos AB e BA também são normais. O conteúdo envolve definição de matriz normal e propriedades de adjunta e comutação.
Passo 2
Relembremos que uma matriz M é dita normal se
Também, se A comuta com B^*, ou seja,
então, ao tomar adjunta em ambos os lados, obtemos que A^* comuta com B.
Passo 3
Aplicando adjunta na relação
recebemos
o que dá
$$B A^* = A^* B.
$$
Logo, A^* comuta com B.
Logo, A^* comuta com B.
Passo 4
Para mostrar que AB é normal, calculemos as duas expressões:
e
Como A e A^* comutam tanto com B quanto com B^* (pelo já mostrado) e A, B são normais (logo A A^* = A^* A e B B^* = B^* B), podemos reorganizar fatores para obter
Assim,
logo AB é normal.
Passo 5
De modo análogo, para BA temos:
Usando as mesmas comutações e o fato de A e B serem normais, concluímos que
isto é, BA também é normal.
Resposta
AB e BA são normais.