19 Seja V um espaço com produto interno e suponha que S: V V (não necessariamente linear) é sobrejetora e preserva produtos internos, isto é, lang<= S(v), S(w)rang<==lang<= v, wrang<=, para quaisquer v, w in V. Mostre que S é linear e, portanto, unitário.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma aplicação sobrejetora S:Vto V que preserva produtos internos (ou seja, lang<= S(v),S(w)rang<==lang<= v,wrang<=) é linear e, por isso, unitária. Vamos usar propriedades de isometrias em espaços com produto interno.

Passo 2

Primeiro, mostramos que S(0)=0. Como S é sobrejetora, existe uin V tal que S(u)=0. Então
|u|^2=lang<= u,urang<==lang<= S(u),S(u)rang<==lang<=0,0rang<==0 Isto implica u=0 e, como S(u)=0, temos S(0)=0.

Passo 3

Agora, provamos a aditividade: para quaisquer x,y,zin V,
lang<= S(x+y),S(z)rang<==lang<= x+y,zrang<==lang<= x,zrang<=+lang<= y,zrang<==lang<= S(x),S(z)rang<=+lang<= S(y),S(z)rang<==lang<= S(x)+S(y),S(z)rang<= Como S é sobrejetora, o vetor S(z) percorre todo V, então a única maneira de ter sempre lang<= S(x+y),wrang<==lang<= S(x)+S(y),wrang<= para todo w é
S(x+y)=S(x)+S(y)

Passo 4

Para a homogeneidade, seja c escalar e v,win V. Temos
lang<= S(cv),S(w)rang<==lang<= cv,wrang<==clang<= v,wrang<==clang<= S(v),S(w)rang<==lang<= cS(v),S(w)rang<= Pelo mesmo argumento de sobrejetividade, obtemos
S(cv)=c,S(v)

Passo 5

Portanto, S é aditiva e homogênea, isto é, linear. Além disso, por preservar produto interno, é uma isometria linear sobrejetora, e isso significa que S é unitária.

Resposta

S é linear e unitária.

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