19 Seja
um espaço com produto interno e suponha que
(não necessariamente linear) é sobrejetora e preserva produtos internos, isto é,
, para quaisquer
. Mostre que
é linear e, portanto, unitário.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma aplicação sobrejetora
que preserva produtos internos (ou seja,
) é linear e, por isso, unitária. Vamos usar propriedades de isometrias em espaços com produto interno.
Passo 2
Primeiro, mostramos que
. Como
é sobrejetora, existe
tal que
. Então
Passo 3
Agora, provamos a aditividade: para quaisquer
,
Passo 4
Para a homogeneidade, seja
escalar e
. Temos
Passo 5
Portanto,
é aditiva e homogênea, isto é, linear. Além disso, por preservar produto interno, é uma isometria linear sobrejetora, e isso significa que
é unitária.