Para cada um dos subconjuntos
abaixo, determine uma base
e a dimensão do subespaço
gerado por
:
Passo 1
Estamos em E=\mathbb{R}^6 com X={u_1,u_2,u_3,u_4}, e queremos achar uma base B\subset X e a dimensão de S(X)=\mathrm{span}(X). Vamos usar a ideia de independência linear e combinações lineares dos vetores.
Passo 2
Primeiro, observamos que u_1=(0,1,0,2,0,1) é não-nulo, logo é independente. Em seguida, u_2=(-1,1,-1,0,1,1) não é múltiplo escalar de u_1, então {u_1,u_2} é um conjunto independente.
Passo 3
Agora, tentamos escrever u_3 como combinação de u_1 e u_2: queremos a e b tais que a,u_1 + b,u_2 = u_3. Nas coordenadas temos
Na coordenada 1: 0,a + (-1),b = -3 implica b=3;
Na coordenada 2: 1,a + 1,b = 4 implica a+3=4, logo a=1;
As outras coordenadas são consistentes com a=1 e b=3. Portanto u_3 = u_1 + 3u_2, mostrando que u_3 é dependente de u_1 e u_2.
Na coordenada 1: 0,a + (-1),b = -3 implica b=3;
Na coordenada 2: 1,a + 1,b = 4 implica a+3=4, logo a=1;
As outras coordenadas são consistentes com a=1 e b=3. Portanto u_3 = u_1 + 3u_2, mostrando que u_3 é dependente de u_1 e u_2.
Passo 4
De forma análoga, escrevemos u_4 como combinação: a,u_1 + b,u_2 = u_4. Da coordenada 1 vem -b=-1 => b=1, e da coordenada 2 vem a+ b=4 => a=3. As demais coordenadas conferem. Logo u_4 = 3u_1 + u_2.
Passo 5
Concluímos que u_3 e u_4 dependem de u_1 e u_2. Portanto uma base B\subset X é B={u_1,u_2} e a dimensão do subespaço gerado é 2.
Resposta
B = {u_1, u_2}, \dim S(X) = 2.