S-3.18
(a) Mostre que todo quadrado é da forma
ou
.
(b) Mostre que nenhum número na sequência 3, 11, 19, 27 etc., é um quadrado.
(b) Mostre que nenhum número na sequência 3, 11, 19, 27 etc., é um quadrado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro (parte a) mostrar que, para todo inteiro
, o quadrado
só pode ser congruente a
,
ou
módulo 8, ou seja, que todo quadrado é da forma
,
ou
. Depois (parte b) usar esse resultado para concluir que nenhum termo da sequência
é um quadrado.
Passo 2
Vamos classificar
dependendo da paridade de
. Há dois casos:
é par ou
é ímpar.
Passo 3
Caso
par. Escrevemos
. Então
Agora ou
é par (digamos
), e então
ou
é ímpar (digamos
), e então
Logo, se
é par,
é da forma
ou
.
Passo 4
Caso
ímpar. Escrevemos
. Então
Como
é sempre par, dizemos
e obtemos
Logo, se
é ímpar,
é da forma
.
Combinando os dois casos, provamos que todo quadrado é da forma
,
ou
, como queríamos.
Passo 5
Para a parte (b), note que a sequência dada tem termo geral
ou seja, cada
. Mas pelos resultados da parte (a) nenhum quadrado pode ser congruente a
módulo 8. Concluímos então que nenhum termo
é quadrado.
Resposta
(a) Todo quadrado é da forma
,
ou
.
(b) Como os termos da sequência são todos congruentes a , nenhum deles pode ser quadrado.
(b) Como os termos da sequência são todos congruentes a