S-3.18

(a) Mostre que todo quadrado é da forma 8 n, 8 n+1 ou 8 n+4.
(b) Mostre que nenhum número na sequência 3, 11, 19, 27 etc., é um quadrado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro (parte a) mostrar que, para todo inteiro m, o quadrado m^2 só pode ser congruente a 0, 1 ou 4 módulo 8, ou seja, que todo quadrado é da forma 8n, 8n+1 ou 8n+4. Depois (parte b) usar esse resultado para concluir que nenhum termo da sequência
3,;11,;19,;27,dots
é um quadrado.

Passo 2

Vamos classificar m^2pmod8 dependendo da paridade de m. Há dois casos: m é par ou m é ímpar.

Passo 3

Caso m par. Escrevemos m=2k. Então
m^2 = (2k)^2 = 4k^2
Agora ou k é par (digamos k=2ell), e então
m^2 = 4,(2ell)^2 = 16,ell^2 = 8,(2ell^2),
ou k é ímpar (digamos k=2ell+1), e então
m^2 = 4,(2ell+1)^2 = 4,(4ell(ell+1)+1) = 16,ell(ell+1)+4 = 8,(2ell(ell+1)) +4
Logo, se m é par, m^2 é da forma 8n ou 8n+4.

Passo 4

Caso m ímpar. Escrevemos m=2k+1. Então
m^2 = (2k+1)^2 = 4k(k+1) + 1
Como k(k+1) é sempre par, dizemos k(k+1)=2r e obtemos
m^2 = 4,(2r) +1 = 8r +1
Logo, se m é ímpar, m^2 é da forma 8n+1.
Combinando os dois casos, provamos que todo quadrado é da forma 8n, 8n+1 ou 8n+4, como queríamos.

Passo 5

Para a parte (b), note que a sequência dada tem termo geral
an = 3 + 8n,
ou seja, cada anequiv3pmod8. Mas pelos resultados da parte (a) nenhum quadrado pode ser congruente a 3 módulo 8. Concluímos então que nenhum termo an é quadrado.

Resposta

(a) Todo quadrado é da forma 8n, 8n+1 ou 8n+4.
(b) Como os termos da sequência são todos congruentes a 3pmod8, nenhum deles pode ser quadrado.

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