S-3.17
(a) Mostre que a soma de quatro inteiros consecutivos nunca é um quadrado.
(b) Mostre que a soma dos quadrados de quatro inteiros consecutivos nunca é um quadrado. Faça o mesmo para a soma dos quadrados de três inteiros consecutivos.
(b) Mostre que a soma dos quadrados de quatro inteiros consecutivos nunca é um quadrado. Faça o mesmo para a soma dos quadrados de três inteiros consecutivos.
Passo 1
O enunciado pede para provar três fatos usando inteiros consecutivos e mostrar que certas somas não podem ser quadrados perfeitos. Em todos os casos vamos escrever a soma em função de
e usar aritmética modular (restos de quadrados em módulo pequeno) para ver que a soma nunca é congruente a um quadrado.
Passo 2
(a) Soma de quatro inteiros consecutivos. Se os inteiros são
então a soma é
Suponha que
seja um quadrado, isto é
Mas em módulo 4 qualquer quadrado satisfaz
ou
, enquanto
Não existe quadrado congruente a
. Logo não há
inteiro com
.
Passo 3
(b1) Soma dos quadrados de quatro inteiros consecutivos. Os termos são
e a soma dá
Se isso fosse um quadrado perfeito, existir-ia
com
Mas note que
e, como antes, um quadrado não pode ser
. Conclusão: não há solução inteira.
Passo 4
(b2) Soma dos quadrados de três inteiros consecutivos. Os termos são
e a soma vale
Suponha que isso seja igual a
. Em módulo 3 temos
ou
, logo
portanto
Mas quadrados perfeitos só são
ou
. Logo não existe
inteiro tal que
.
Resposta
(a) A soma é
, nunca quadrado.
(b1) A soma é , nunca quadrado.
(b2) A soma é , nunca quadrado.
(b1) A soma é
(b2) A soma é