S-3.17

(a) Mostre que a soma de quatro inteiros consecutivos nunca é um quadrado.
(b) Mostre que a soma dos quadrados de quatro inteiros consecutivos nunca é um quadrado. Faça o mesmo para a soma dos quadrados de três inteiros consecutivos.

Passo 1

O enunciado pede para provar três fatos usando inteiros consecutivos e mostrar que certas somas não podem ser quadrados perfeitos. Em todos os casos vamos escrever a soma em função de ninZ e usar aritmética modular (restos de quadrados em módulo pequeno) para ver que a soma nunca é congruente a um quadrado.

Passo 2

(a) Soma de quatro inteiros consecutivos. Se os inteiros são
n,;n+1,;n+2,;n+3,
então a soma é
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6
Suponha que 4n+6 seja um quadrado, isto é
4n+6=k^2(kinZ)
Mas em módulo 4 qualquer quadrado satisfaz k^2equiv0 ou 1pmod4, enquanto
4n+6equiv 6equiv2pmod4
Não existe quadrado congruente a 2pmod4. Logo não há k inteiro com 4n+6=k^2.

Passo 3

(b1) Soma dos quadrados de quatro inteiros consecutivos. Os termos são
n^2,;(n+1)^2,;(n+2)^2,;(n+3)^2
e a soma dá
n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2 =4n^2+12n+14
Se isso fosse um quadrado perfeito, existir-ia minZ com
4n^2+12n+14=m^2
Mas note que
4n^2+12n+14equiv14equiv2pmod4,
e, como antes, um quadrado não pode ser 2pmod4. Conclusão: não há solução inteira.

Passo 4

(b2) Soma dos quadrados de três inteiros consecutivos. Os termos são
n^2,;(n+1)^2,;(n+2)^2
e a soma vale
n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=3n^2+6n+5
Suponha que isso seja igual a p^2. Em módulo 3 temos n^2equiv0 ou 1pmod3, logo
3n^2equiv0,6nequiv0pmod3,
portanto
3n^2+6n+5equiv5equiv2pmod3
Mas quadrados perfeitos só são 0 ou 1pmod3. Logo não existe p inteiro tal que 3n^2+6n+5=p^2.

Resposta

(a) A soma é 4n+6equiv2pmod4, nunca quadrado.
(b1) A soma é 4n^2+12n+14equiv2pmod4, nunca quadrado.
(b2) A soma é 3n^2+6n+5equiv2pmod3, nunca quadrado.

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