Questão
A área da região limitada pelas curvas
e
será
(a) 9/2 unidade de área.
(b) 7/2 unidade de área.
(c) 5/2 unidade de área.
(d)
unidade de área.
(e)
unidade de área.
(a) 9/2 unidade de área.
(b) 7/2 unidade de área.
(c) 5/2 unidade de área.
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a área entre as curvas
e
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integração para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os valores de
onde
. Isso nos dará os limites de integração.
Passo 3
Vamos resolver a equação
:
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Então, as soluções são
e
. Esses são os pontos onde as curvas se intersectam.
Passo 4
Sabendo onde as curvas se encontram, identificamos qual delas está acima da outra entre esses pontos. Vamos avaliar um valor de
entre -1 e 2, por exemplo,
:
Como
nesse intervalo, a curva
está acima da curva
entre
e
.
Passo 5
A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Vamos agora integrar essa função:
Passo 7
Calculamos os valores da antiderivada nos limites superior e inferior:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Subtraímos o valor inferior do superior:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidade de área. Opção (a).