18^ n Questão

A área da região limitada pelas curvas y=x^2-1 e y=x+1 será
(a) 9/2 unidade de área.
(b) 7/2 unidade de área.
(c) 5/2 unidade de área.
(d) 3 / 2 unidade de área.
(e) 1 / 2 unidade de área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a área entre as curvas y = x^2 - 1 e y = x + 1 . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integração para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os valores de x onde x^2 - 1 = x + 1 . Isso nos dará os limites de integração.

Passo 3

Vamos resolver a equação x^2 - 1 = x + 1 :
x^2 - x - 2 = 0
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
(x - 2)(x + 1) = 0
Então, as soluções são x = 2 e x = -1 . Esses são os pontos onde as curvas se intersectam.

Passo 4

Sabendo onde as curvas se encontram, identificamos qual delas está acima da outra entre esses pontos. Vamos avaliar um valor de x entre -1 e 2, por exemplo, x = 0 :
y1 = 0^2 - 1 = -1
y2 = 0 + 1 = 1
Como y2 > y1 nesse intervalo, a curva y = x + 1 está acima da curva y = x^2 - 1 entre x = -1 e x = 2 .

Passo 5

A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções:
Área = integral-1^2 ( (x + 1) - (x^2 - 1) ) dx Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
(x + 1) - (x^2 - 1) = -x^2 + x + 2

Passo 6

Vamos agora integrar essa função:
integral-1^2 (-x^2 + x + 2) dx = [ -x^33 + x^22 + 2x ]-1^2

Passo 7

Calculamos os valores da antiderivada nos limites superior e inferior:
Para x = 2 :
-2^33 + 2^22 + 2(2) = -83 + 42 + 4 = -83 + 2 + 4 = -83 + 6 = 103
Para x = -1 :
-(-1)^33 + (-1)^22 + 2(-1) = 13 + 12 - 2 = 13 + 12 - 2 = 56 - 2 = -76

Passo 8

Subtraímos o valor inferior do superior:
103 - ( -76 ) = 103 + 76 = 206 + 76 = 276 = 92

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 92 unidade de área. Opção (a).

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