Dada a aplicação T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x, x-y, 2 x-y-z).
A transformação é sobrejetora?

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z) = (x,;x-y,;2x - y - z)
O que queremos é verificar se T é sobrejetora, ou seja, se para todo vetor (a,b,c)inR^3 existe (x,y,z)inR^3 tal que
T(x,y,z) = (a,b,c)

Passo 2

Escrevemos o sistema que equivale a
T(x,y,z) = (a,b,c),
isto é,
x = a, x - y = b, 2x - y - z = c
Se conseguirmos resolver esse sistema para qualquer (a,b,c), mostramos que T é sobrejetora.

Passo 3

Da primeira equação temos
x = a
Substituindo em x - y = b vem
a - y = b Longrightarrow y = a - b
Por fim, na terceira equação
2x - y - z = c
substituindo x=a e y=a-b obtemos
2a - (a - b) - z = c Longrightarrow (a + b) - z = c Longrightarrow z = a + b - c

Passo 4

Encontramos a solução
(x,y,z) = l(a,;a - b,;a + b - cr)
para qualquer (a,b,c)inR^3. Como sempre existe uma pré-imagem, T é sobrejetora.

Resposta

Sim, T é sobrejetora.

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