18
QUESTÃO: Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
A região limitada por ambos os cardioides r=1+cos theta e r=1-cos theta.

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum (a “lentilha”) limitada pelos dois cardioides em coordenadas polares
r = 1 + costheta
e
r = 1 - costheta
O método é usar integral dupla em coordenadas polares, ou seja
integral duplaR dA ;=;integral duplaR r,dr,dtheta

Passo 2

Precisamos achar onde as curvas se cruzam. Igualando
1 + costheta = 1 - costheta
vem
costheta = 0 Longrightarrow theta = tfracpi2,;tfrac3pi2
Entre esses ângulos a região fechada pelos dois “ramos” forma a lente. Por simetria podemos integrar de theta=-tfracpi2 até tfracpi2.

Passo 3

Para thetain[-tfracpi2,tfracpi2] temos costheta>=0, logo o limite interno é
rint = 1 - costheta,
e o limite externo é
rext = 1 + costheta
Assim
R=(,r,theta,)mid -tfracpi2<=theta<=tfracpi2,;1-costheta<= r<=1+costheta

Passo 4

Montamos a integral da área:
Área =integraltheta=-tfracpi2^tfracpi2 integralr=,1-costheta^,1+costheta r,dr,dtheta Á

Passo 5

Primeiro integramos em r:
integral1-costheta^,1+costhetar,dr =12l[(1+costheta)^2 - (1-costheta)^2r]

Passo 6

Logo a área vira
Área =integral-tfracpi2^tfracpi2 12l[(1+costheta)^2 - (1-costheta)^2r],dtheta Á
Mas
(1+costheta)^2 - (1-costheta)^2 =4costheta,
então
Área =12integral-tfracpi2^tfracpi24costheta,dtheta =2integral-tfracpi2^tfracpi2costheta,dtheta Á

Passo 7

Calculando a integral em theta:
2l[sinthetar]-tfracpi2^tfracpi2 =2l(sintfracpi2-sin(-tfracpi2)r) =2(1-(-1)) =4

Resposta

A área da região limitada por r=1+costheta e r=1-costheta é 4.

Exercícios relacionados