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QUESTÃO: Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
A região limitada por ambos os cardioides
e
.
QUESTÃO: Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
A região limitada por ambos os cardioides
Passo 1
O enunciado pede a área da região comum (a “lentilha”) limitada pelos dois cardioides em coordenadas polares
e
O método é usar integral dupla em coordenadas polares, ou seja
Passo 2
Precisamos achar onde as curvas se cruzam. Igualando
vem
Entre esses ângulos a região fechada pelos dois “ramos” forma a lente. Por simetria podemos integrar de
até
.
Passo 3
Para
temos
, logo o limite interno é
e o limite externo é
Assim
Passo 4
Montamos a integral da área:
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Passo 6
Logo a área vira
Mas
então
Passo 7
Calculando a integral em
:
Resposta
A área da região limitada por
e
é
.