Determine se a siric converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge,
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2 2^nn!

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n+1n^22^nn!
O conteúdo aqui é classificação de séries numéricas (absoluta, condicional ou divergente). Para ver se ela converge absolutamente, vamos estudar
sumn=1^infty|n^22^nn!|
aplicando o teste da razão.

Passo 2

Definimos
an = n^22^nn!
O teste da razão exige calcular
an+1an = (n+1)^22^,n+1/(n+1)!n^22^n/n! = (n+1)^2n^2;2^,n+12^n;n!(n+1)! = (n+1)^2n^2;cdot2;cdot1n+1 = 2(n+1)n^2

Passo 3

Observe que
limntoinfty2(n+1)n^2 ;=;0 ;<;1
Pelo teste da razão, a soma dos an converge. Isso significa que
sumn=1^inftyl|(-1)^n+1tfracn^22^nn!r|
converge, ou seja, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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