21 Calcule a integral iterada:
integral0^1 integral-raiz1-y^2^0 x^2 y d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integraly=0^1integralx=-raiz1-y^2^0x^2y,dx,dy
O conteúdo principal é integração dupla via integração iterada. Vamos primeiro integrar em x (tratando y como constante) e depois em y.

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
integral-raiz1-y^2^0x^2y,dx = yintegral-raiz1-y^2^0x^2,dx = y[x^33]x=-raiz1-y^2^x=0 = yl(0 - (-raiz1-y^2)^33r) = y3(1-y^2)^3/2

Passo 3

Substituir o resultado na integral em y:
integral0^1y3(1-y^2)^3/2,dy = 13integral0^1y,(1-y^2)^3/2,dy
Fazendo t=1-y^2, segue dt=-2y,dy e quando y=0Rightarrow t=1, y=1Rightarrow t=0. Logo
13integral0^1y,(1-y^2)^3/2,dy = 13integralt=1^0t^3/2l(-tfrac12dtr) = 16integral0^1t^3/2,dt

Passo 4

Calcular a integral em t:
16integral0^1t^3/2,dt = 16[t^5/25/2]0^1 = 16cdot25 = 115

Resposta

115

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