Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério:
sumn=1^+infty(nn+1)^n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^+infty(nn+1)^n
converge ou diverge, indicando o critério usado.
O conteúdo é testes de convergência de séries numéricas, em particular o critério do termo geral (ou teste da divergência).

Passo 2

Identificamos o termo geral da série:
an = (nn+1)^n

Passo 3

Para aplicar o critério do termo geral, calculamos
limntoinftyan. Reescrevendo
an = l(1 - 1n+1r)^n,
sabemos que
limmtoinftyl(1 - 1mr)^m = e^-1
Logo, trocando m=n+1,
limntoinftyl(1 - 1n+1r)^n+1 = e^-1 Longrightarrow limntoinftyan = limntoinftyl(1 - 1n+1r)^n = e^-1

Passo 4

Como
limntoinftyan = e^-1 neq 0,
pela condição necessária de convergência de uma série (se sum an converge então lim an=0), concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge, pelo critério do termo geral (os termos não tendem a zero).

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