Questão 2 (valor 3 pontos). Considere a seguinte base do . Usando o processo de Gram-Schmidt para esses vetores, encontre uma base ortogonal. Considere o produto interno usual.

Passo 1

O enunciado pede que, dada a base B=(3,4),(-1,2) de R^2, a gente aplique o processo de Gram–Schmidt (conteúdo: projeções e ortogonalização usando o produto interno usual) para encontrar uma base ortogonal.

Passo 2

No Gram–Schmidt, o primeiro vetor ortogonal é igual ao primeiro vetor original. Assim, definimos u1 = v1 = (3,4).

Passo 3

Calculamos a projeção de v2 = (-1,2) em u1 pela fórmula
proju1(v2) = lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1
Aqui,
lang<= v2,u1rang<= = (-1)cdot3 + 2cdot4 = 5 e
lang<= u1,u1rang<= = 3^2 + 4^2 = 25.
Logo,
proju1(v2) = 525(3,4) = l(tfrac35,tfrac45r)

Passo 4

Subtraímos essa projeção de v2 para obter o segundo vetor ortogonal:
u2 = v2 - proju1(v2) = (-1,2) - l(tfrac35,tfrac45r) = l(-tfrac85,tfrac65r)
Como podemos multiplicar u2 por qualquer escalar sem perder ortogonalidade, escolhemos a forma inteira mais simples: (-4,3).

Resposta

Uma base ortogonal resultante é (3,4),,(-4,3).

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