Questão 2 (valor 3 pontos). Considere a seguinte base do
. Usando o processo de Gram-Schmidt para esses vetores, encontre uma base ortogonal. Considere o produto interno usual.
Passo 1
O enunciado pede que, dada a base
de
, a gente aplique o processo de Gram–Schmidt (conteúdo: projeções e ortogonalização usando o produto interno usual) para encontrar uma base ortogonal.
Passo 2
No Gram–Schmidt, o primeiro vetor ortogonal é igual ao primeiro vetor original. Assim, definimos
.
Passo 3
Calculamos a projeção de
em
pela fórmula
Aqui,
e
.
Logo,
Logo,
Passo 4
Subtraímos essa projeção de
para obter o segundo vetor ortogonal:
Como podemos multiplicar
por qualquer escalar sem perder ortogonalidade, escolhemos a forma inteira mais simples:
.
Resposta
Uma base ortogonal resultante é
.