1 Classifique as seguintes afirmações como sendo verdadeira ou falsa.
a) O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt nos permite construir um conjunto ortonormal a partir de um conjunto qualquer de vetores.
b) Todo espaço vetorial de dimensão finita com produto interno tem uma base ortonormal.
c) O complemento ortogonal de qualquer conjunto é um subespaço.
d) Todo conjunto ortogonal é linearmente independente.
e) Todo conjunto ortonormal é linearmente independente.
a) O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt nos permite construir um conjunto ortonormal a partir de um conjunto qualquer de vetores.
b) Todo espaço vetorial de dimensão finita com produto interno tem uma base ortonormal.
c) O complemento ortogonal de qualquer conjunto é um subespaço.
d) Todo conjunto ortogonal é linearmente independente.
e) Todo conjunto ortonormal é linearmente independente.
Passo 1
A questão pede para classificar cinco afirmações sobre espaços com produto interno, ortogonalização de Gram–Schmidt, bases ortonormais, complemento ortogonal e independência linear.
Passo 2
Para a afirmação (a), o processo de Gram–Schmidt só gera um conjunto ortonormal quando aplicamos num conjunto de vetores linearmente independentes e sem vetores nulos. Se o conjunto for qualquer (por exemplo, contiver vetores dependentes ou o vetor nulo), não conseguimos uma base ortonormal completa diretamente. Portanto, (a) é falsa.
Passo 3
A afirmação (b) está ligada ao teorema que diz que em todo espaço vetorial de dimensão finita com produto interno existe sempre uma base ortonormal. Basta aplicar Gram–Schmidt a uma base qualquer. Logo, (b) é verdadeira.
Passo 4
Para ©, o complemento ortogonal de um conjunto qualquer
é definido por
. É fácil verificar que essa coleção é fechada para soma e multiplicação escalar, logo é um subespaço. Assim, © é verdadeira.
Passo 5
A afirmação (d) afirma que todo conjunto ortogonal é linearmente independente. Normalmente definimos conjunto ortogonal como vetores não nulos mutuamente ortogonais, e tal conjunto é de fato linearmente independente. Logo, (d) é verdadeira.
Passo 6
Por fim, (e) é um caso particular de (d): um conjunto ortonormal é um conjunto ortogonal cujos vetores têm norma 1, daí também é linearmente independente. Assim, (e) é verdadeira.
Resposta
a) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Verdadeira