(18) Suponha que |f(x)-f(1)| <= raiz2(x-1)^2, para todo x suficientemente próximo de 1 . Mostre que f é contínua em x=1.

Passo 1

O enunciado diz que existe um intervalo em torno de x=1 tal que, para todo x nesse intervalo, vale
|f(x)-f(1)| <= raiz2,(x-1)^2
Precisamos mostrar que limxto1f(x)=f(1), ou seja, provar a continuidade de f em x=1 usando a definição varepsilon de<a.

Passo 2

Seja arbitrário varepsilon>0. Queremos encontrar de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<de<a, então |f(x)-f(1)|<varepsilon.

Passo 3

Pela desigualdade do enunciado temos, para x suficientemente próximo de 1,
|f(x)-f(1)| <= raiz2,(x-1)^2
Se garantirmos |x-1|<de<a, então
|f(x)-f(1)| <= raiz2,de<a^2

Passo 4

Para que raiz2,de<a^2<varepsilon basta escolher
de<a <= raizvarepsilonraiz2
Como a desigualdade original só vale num certo entorno de 1, se necessário tomamos
de<a = min!l(r,;raiztfracvarepsilonraiz2r),
onde r>0 garante que a hipótese do enunciado vale sempre que |x-1|<r.

Passo 5

Com essa escolha de de<a, sempre que 0<|x-1|<de<a temos
|f(x)-f(1)| <= raiz2,de<a^2 <= raiz2,varepsilonraiz2 = varepsilon
Isso mostra limxto1f(x)=f(1).

Resposta

Logo, f é contínua em x=1.

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