(18) Suponha que
, para todo
suficientemente próximo de 1 . Mostre que
é contínua em
.
Passo 1
O enunciado diz que existe um intervalo em torno de
tal que, para todo
nesse intervalo, vale
Precisamos mostrar que
, ou seja, provar a continuidade de
em
usando a definição
–
.
Passo 2
Seja arbitrário
. Queremos encontrar
tal que, sempre que
, então
.
Passo 3
Pela desigualdade do enunciado temos, para
suficientemente próximo de 1,
Se garantirmos
, então
Passo 4
Para que
basta escolher
Como a desigualdade original só vale num certo entorno de 1, se necessário tomamos
onde
garante que a hipótese do enunciado vale sempre que
.
Passo 5
Com essa escolha de
, sempre que
temos
Isso mostra
.
Resposta
Logo,
é contínua em
.