Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções abaixo.
f(x, y)=e^x^2+y^2-4 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
f(x,y)=e^x^2+y^2-4x
O conteúdo necessário é cálculo de pontos críticos (onde nabla f=0) e classificação via matriz Hessiana.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=e^g(x,y) com g(x,y)=x^2+y^2-4x, usamos a regra da cadeia:
partial fpartial x = f(x,y),partial gpartial x = e^g(x,y),(2x-4),
partial fpartial y = f(x,y),partial gpartial y = e^g(x,y),(2y)

Passo 3

Impor nabla f=0 implica
e^g(x,y),(2x-4)=0, e^g(x,y),(2y)=0
Como e^g(x,y)>0 para todos (x,y), segue
2x-4=0 implies x=2, 2y=0 implies y=0
Logo, há um único ponto crítico: (2,0).

Passo 4

Para classificar, basta olhar a Hessiana de g(x,y), já que f=e^g mantém o tipo de extremante.
nabla^2g(x,y) = partial^2gpartial x^2 & partial^2gpartial xpartial y[6pt] partial^2gpartial ypartial x & partial^2gpartial y^2 = 2 & 0 0 & 2
Essa matriz é definida positiva (ambos os autovalores são 2>0), logo g tem mínimo estrito em (2,0) e, por consequência, f também.]

Passo 5

Concluímos que em (2,0) há um mínimo local (na verdade global) de f. Não existem pontos críticos adicionais, então não há máximos locais nem pontos de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (2,0), que é mínimo local (e global). Não há máximos locais nem pontos de sela.

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