(19) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de
em
existe, então
está definida em
;
(b) Se
é descontínua em
, então os limites laterais de
em
são infinitos;
(c) Se
é contínua, então
é contínua;
(d) Se
é contínua, então
é contínua;
(e)
é contínua em
.
(a) Se o limite de
(b) Se
(c) Se
(d) Se
(e)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre existência de limites e continuidade é verdadeira ou falsa. Vamos usar a definição de limite finito, definição de continuidade em
(limite igual ao valor da função), propriedades de composição de funções contínuas e, quando necessário, apresentar contraexemplos simples.
Passo 2
Analisando (a): “Se o limite de
em
existe, então
está definida em
.”
Definição de limite não exige que exista. Exemplo: seja
Definição de limite não exige que
e
não definida em
. Mesmo assim
existe, mas
não existe. Logo, (a) é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “Se
é descontínua em e
, ambos finitos. Logo, (b) é falsa.
Passo 4
Analisando (c): “Se
é contínua, então
é contínua.”
A função é contínua em todo real e a composição de funções contínuas é contínua. Como
é contínua,
também é contínua. Logo, (c) é verdadeira.
A função
Passo 5
Analisando (d): “Se
Então , logo
é constante (contínua), mas
não é contínua em nenhum ponto. Logo, (d) é falsa.
Passo 6
Analisando (e): “
Temos , logo
não é contínua em
. Portanto, (e) é falsa.
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Falsa