(19) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo:
(a) Se o limite de f em x0 existe, então f está definida em x0;
(b) Se f é descontínua em x0, então os limites laterais de f em x0 são infinitos;
(c) Se f é contínua, então |f| é contínua;
(d) Se |f| é contínua, então f é contínua;
(e) lim x a^+ f(x)=lim x a^- f(x) Longrightarrow f é contínua em a.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre existência de limites e continuidade é verdadeira ou falsa. Vamos usar a definição de limite finito, definição de continuidade em x0 (limite igual ao valor da função), propriedades de composição de funções contínuas e, quando necessário, apresentar contraexemplos simples.

Passo 2

Analisando (a): “Se o limite de f em x0 existe, então f está definida em x0.”
Definição de limite não exige que f(x0) exista. Exemplo: seja
f(x)=x, xneq0,
e f não definida em 0. Mesmo assim
limxto0f(x)=0
existe, mas f(0) não existe. Logo, (a) é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “Se
é descontínua em e , ambos finitos. Logo, (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c): “Se f é contínua, então lvert frvert é contínua.”
A função lvert xrvert é contínua em todo real e a composição de funções contínuas é contínua. Como f é contínua, lvert f(x)rvert=(lvertcdotrvert)circ f(x) também é contínua. Logo, (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (d): “Se
Então , logo é constante (contínua), mas não é contínua em nenhum ponto. Logo, (d) é falsa.

Passo 6

Analisando (e): “
Temos , logo não é contínua em . Portanto, (e) é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Falsa

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