Em 1831, o físico Michael Faraday descobriu que uma corrente elétrica pode ser produzida variando o fluxo magnético atra- vés de um arco condutor. Suas experiências mostraram que a força eletromotriz
está relacionada com a indução magnética
pela equação
Use esse resultado para fazer uma conjectura acerca da relação entre
e
e explique seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre a descoberta de Faraday em 1831, que relaciona a força eletromotriz
com a indução magnética
. O objetivo aqui é fazer uma conjectura sobre a relação entre o rotacional de
, representado por
, e o campo magnético
. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Faraday da Indução, que é parte importante do estudo do eletromagnetismo.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que você forneceu:
Essa é a forma integral da Lei de Faraday, onde:
-
representa a força eletromotriz ao longo de um caminho fechado . -
representa a taxa de variação do fluxo magnético através da superfície delimitada por . -
é um vetor normal à superfície .
Passo 3
Agora, para relacionar essa forma integral com a forma diferencial envolvendo o rotacional de
, vamos usar o Teorema de Stokes. Esse teorema conecta integrais de superfície a integrais de linha e é dado por:
Ou seja, o integral de linha do campo
ao redor de
é igual ao integral de superfície do rotacional de
sobre
.
Passo 4
Comparando as duas equações que temos:
- Lei de Faraday (forma integral):
- Teorema de Stokes aplicado a
:
Podemos igualar os dois membros das integrais de superfície porque ambos são iguais a
.
Passo 5
Igualando as duas expressões:
Como isso é válido para qualquer superfície
, podemos concluir que as partes internas das integrais também devem ser iguais:
Resposta
Portanto, a relação entre o rotacional de
e o campo magnético
é dada por: