Em 1831, o físico Michael Faraday descobriu que uma corrente elétrica pode ser produzida variando o fluxo magnético atra- vés de um arco condutor. Suas experiências mostraram que a força eletromotriz E está relacionada com a indução magnética B pela equação
ointC E cdot d r=-integral duplaS partial Bpartial t cdot n d S
Use esse resultado para fazer uma conjectura acerca da relação entre nabla times E e B e explique seu raciocínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre a descoberta de Faraday em 1831, que relaciona a força eletromotriz E com a indução magnética B. O objetivo aqui é fazer uma conjectura sobre a relação entre o rotacional de E, representado por nabla times E, e o campo magnético B. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Faraday da Indução, que é parte importante do estudo do eletromagnetismo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que você forneceu:
ointC E cdot d r = -integral duplaS partial Bpartial t cdot n , dS
Essa é a forma integral da Lei de Faraday, onde:
  • ointC E cdot d r representa a força eletromotriz ao longo de um caminho fechado C.
  • -integral duplaS partial Bpartial t cdot n , dS representa a taxa de variação do fluxo magnético através da superfície S delimitada por C.
  • n é um vetor normal à superfície S.

Passo 3

Agora, para relacionar essa forma integral com a forma diferencial envolvendo o rotacional de E, vamos usar o Teorema de Stokes. Esse teorema conecta integrais de superfície a integrais de linha e é dado por:
ointC E cdot d r = integral duplaS (nabla times E) cdot n , dS
Ou seja, o integral de linha do campo E ao redor de C é igual ao integral de superfície do rotacional de E sobre S.

Passo 4

Comparando as duas equações que temos:
  1. Lei de Faraday (forma integral):
ointC E cdot d r = -integral duplaS partial Bpartial t cdot n , dS
  1. Teorema de Stokes aplicado a E:
ointC E cdot d r = integral duplaS (nabla times E) cdot n , dS
Podemos igualar os dois membros das integrais de superfície porque ambos são iguais a ointC E cdot d r.

Passo 5

Igualando as duas expressões:
integral duplaS (nabla times E) cdot n , dS = -integral duplaS partial Bpartial t cdot n , dS
Como isso é válido para qualquer superfície S, podemos concluir que as partes internas das integrais também devem ser iguais:
nabla times E = -partial Bpartial t

Resposta

Portanto, a relação entre o rotacional de E e o campo magnético B é dada por:
nabla times E = -partial Bpartial t

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