Considerando que a função de custo (reais) da produção de certo produto seja C(q) =-q^33+5 q^2, em que q é a quantidade do produto, calcule C^prime(8) e C^prime(12) e justifique seus significados.
R) R 16,00$.

Passo 1

O enunciado dá a função de custo
C(q) = -q^33 + 5q^2
e pede para calcular as derivadas nos pontos q=8 e q=12. Vamos usar o conceito de derivada de polinômio para obter a função C'(q), que representa o custo marginal (a variação instantânea do custo em relação à quantidade).

Passo 2

Para derivar
C(q) = -q^33 + 5q^2,
aplicamos a regra do poder em cada termo:
C'(q) = ddql(-tfrac13q^3r) + ddql(5q^2r) = -tfrac13cdot 3q^2 + 5cdot 2q = -q^2 + 10q

Passo 3

Agora avaliamos em q=8 e q=12:
C'(8) = -8^2 + 10cdot 8 = -64 + 80 = 16,
C'(12) = -12^2 + 10cdot 12 = -144 + 120 = -24

Passo 4

O valor de é o custo marginal, ou seja, o acréscimo (ou decréscimo) no custo total quando produzimos uma unidade a mais em torno de . Logo:
– Em , significa que produzir a ª unidade acrescenta cerca de R$ ao custo total.
– Em , indica que, nesse ponto, produzir uma unidade extra reduz o custo total em R$ (economia de escala ou ajuste de produção).

Resposta

, .
Significado: em o custo marginal é de R$ por unidade extra, e em o custo marginal é de R$ por unidade extra.

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