Determine se o campo vetorial
é livre de fontes e poços. Se não for, localize-os. E use o teorema da divergência para determinar o fluxo de
através da superfície
com orientação para fora.
é a superfície esférica
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o campo vetorial
para ver se ele tem fontes ou poços. Se tiver, vamos localizar onde estão. Depois, vamos usar o teorema da divergência para calcular o fluxo desse campo através da superfície esférica
definida por
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais, divergência e o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
tem fontes ou poços. Isso significa que precisamos calcular a divergência de
. A divergência nos diz se o campo está “saindo” ou “entrando” num ponto, indicando a presença de fontes (onde o campo diverge) ou poços (onde o campo converge).
A fórmula para a divergência em coordenadas cartesianas é:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Somando as derivadas parciais:
Como a divergência é zero em todo ponto do espaço, isso significa que o campo
não tem fontes nem poços. Ou seja, a quantidade de “campo saindo” é igual à de “campo entrando” em qualquer região.
Passo 5
Mesmo sem fontes ou poços, podemos usar o teorema da divergência para calcular o fluxo de
através da superfície
. O teorema da divergência diz que:
Onde
é o volume limitado por
.
Passo 6
Já calculamos que
. Portanto,
Isso implica que o fluxo de
através da superfície
também é zero.
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície esférica
é igual a zero.