Determine se o campo vetorial F(x, y, z) é livre de fontes e poços. Se não for, localize-os. E use o teorema da divergência para determinar o fluxo de F através da superfície S com orientação para fora.
F(x, y, z)=(y+z) i-x z^3 j+x^2 sin (y) k ; S é a superfície esférica x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o campo vetorial F(x, y, z) = (y+z) i - x z^3 j + x^2 sin (y) k para ver se ele tem fontes ou poços. Se tiver, vamos localizar onde estão. Depois, vamos usar o teorema da divergência para calcular o fluxo desse campo através da superfície esférica S definida por x^2+y^2+z^2=1. Para isso, vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais, divergência e o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo F tem fontes ou poços. Isso significa que precisamos calcular a divergência de F. A divergência nos diz se o campo está “saindo” ou “entrando” num ponto, indicando a presença de fontes (onde o campo diverge) ou poços (onde o campo converge).
A fórmula para a divergência em coordenadas cartesianas é:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Para Fx = y + z:
partial Fxpartial x = partial (y + z)partial x = 0
  1. Para Fy = -x z^3:
partial Fypartial y = partial (-x z^3)partial y = 0
  1. Para Fz = x^2 sin(y):
partial Fzpartial z = partial (x^2 sin(y))partial z = 0

Passo 4

Somando as derivadas parciais:
nabla cdot F = 0 + 0 + 0 = 0
Como a divergência é zero em todo ponto do espaço, isso significa que o campo F não tem fontes nem poços. Ou seja, a quantidade de “campo saindo” é igual à de “campo entrando” em qualquer região.

Passo 5

Mesmo sem fontes ou poços, podemos usar o teorema da divergência para calcular o fluxo de F através da superfície S. O teorema da divergência diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Onde V é o volume limitado por S.

Passo 6

Já calculamos que nabla cdot F = 0. Portanto,
integral triplaV (nabla cdot F) , dV = integral triplaV 0 , dV = 0
Isso implica que o fluxo de F através da superfície S também é zero.

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície esférica S é igual a zero.

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