Determine se o campo vetorial
é livre de fontes e poços. Se não for, localize-os. E use o teorema da divergência para determinar o fluxo de
através da superfície
com orientação para fora.
é a superfície cilíndrica limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial
tem fontes ou poços. Se tiver, vamos localizar onde estão. Depois, vamos usar o teorema da divergência para calcular o fluxo desse campo através da superfície
, que é um cilindro limitado por
,
e
.
Para isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais, divergência e o teorema da divergência da geometria vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
tem fontes ou poços. Para isso, calculamos a divergência de
, que nos diz se o campo está “saindo” de algum ponto (fonte) ou “entrando” em algum ponto (poço).
A divergência é dada por:
Onde
,
, e
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:
Como a divergência é constante e igual a 3, isso significa que o campo
tem fontes por todo o espaço, já que a divergência positiva indica “saída” do campo.
Passo 5
Com a divergência calculada, vamos usar o teorema da divergência para encontrar o fluxo de
através da superfície
. O teorema da divergência diz que:
Onde
é o volume limitado pela superfície
.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular o volume
do cilindro. O volume de um cilindro é dado por:
Aqui,
é a altura do cilindro, que no nosso caso é de 1 unidade (de
a
). Então:
Passo 7
Agora, aplicando o teorema da divergência:
Então, o fluxo de
através da superfície
é
.
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.