Determine se o campo vetorial F(x, y, z) é livre de fontes e poços. Se não for, localize-os. E use o teorema da divergência para determinar o fluxo de F através da superfície S com orientação para fora.
F(x, y, z)=(x-z, y-x, z-y) ; S é a superfície cilíndrica limitada por x^2+y^2=a^2, z=0 e z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial F(x, y, z) = (x - z, y - x, z - y) tem fontes ou poços. Se tiver, vamos localizar onde estão. Depois, vamos usar o teorema da divergência para calcular o fluxo desse campo através da superfície S, que é um cilindro limitado por x^2+y^2=a^2, z=0 e z=1.
Para isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais, divergência e o teorema da divergência da geometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo F tem fontes ou poços. Para isso, calculamos a divergência de F, que nos diz se o campo está “saindo” de algum ponto (fonte) ou “entrando” em algum ponto (poço).
A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde Fx = x - z, Fy = y - x, e Fz = z - y.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Fxpartial x = partial (x - z)partial x = 1
  2. partial Fypartial y = partial (y - x)partial y = 1
  3. partial Fzpartial z = partial (z - y)partial z = 1

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:
nabla cdot F = 1 + 1 + 1 = 3
Como a divergência é constante e igual a 3, isso significa que o campo F tem fontes por todo o espaço, já que a divergência positiva indica “saída” do campo.

Passo 5

Com a divergência calculada, vamos usar o teorema da divergência para encontrar o fluxo de F através da superfície S. O teorema da divergência diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde V é o volume limitado pela superfície S.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o volume V do cilindro. O volume de um cilindro é dado por:
V = pi a^2 h
Aqui, h é a altura do cilindro, que no nosso caso é de 1 unidade (de z=0 a z=1). Então:
V = pi a^2 times 1 = pi a^2

Passo 7

Agora, aplicando o teorema da divergência:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV 3 , dV = 3 times V = 3 times pi a^2 = 3pi a^2
Então, o fluxo de F através da superfície S é 3pi a^2.

Resposta

O fluxo de F através da superfície S é 3pi a^2.

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