Em 1837 o biologista Verhulst desenvolveu uma equação diferencial para modelar o crescimento de populações. Verhulst argumentou que taxa de variação de uma população P(t)
com respeito ao tempo deveria ser influenciada por fatores de crescimento (a população em si, por exemplo) e também fatores que tendem a limitar o crescimento (por exemplo, restrições de alimento ou espaço). Com isso ele chegou a sua equação logística:
P^prime(t)=a P(t)-b P^2(t)
onde a e b são constantes positivas cujos valores dependem das características da população em questão. A condição inicial é P(0)=p0, 0<p0<a / b, a população em algum tempo, designado por conveniência a ser zero. Resolva a equação acima. Mostre que lim t +infty P(t)=a / b e interprete esse resultado. Em 1920, um estudo de Pearl and Reed ^1 sugeriu os valores a=0,03134 e b=1,5887 times 10^-10 para a população dos EUA. Determine P(t) considerando t em anos e como tempo inicial o ano de 1790 , onde a população total dos EUA era de 3.929.214 pessoas. Usando esta fórmula, encontre a população nos anos 1800,1810 e 1820 e compare com os valores reais que são: 5.308 483,7.239 881 e 9.638.453. Encontre qual deveria ser a população limite (com t +infty ) dos EUA de acordo com esse modelo. Compare com o número de pessoas em 1970: 203.302.031. O que você observa?
(1) R. Pearl and L. J. Reed, On the rate of growth of the population of the United States since 1790 and its mathematical representation, Proceedings of the National Academy of Science, 6, p. 275-288, 1920.
Resposta: P(t)=K0 a e^a t1+K0 b e^a t, sendo K0=p0a-b p0. Para os valores de a e b dados, a população limite é 197.268.206. Concluímos que o modelo, a longo prazo, forneceu um valor subestimado da população real, mas com erro relativo de 2,968 %.

Passo 1

O enunciado trata da equação logística
P'(t)=a,P(t)-b,P^2(t)
com condição inicial P(0)=p0. Queremos (a) resolver essa EDO por separação de variáveis, (b) mostrar que limtto+inftyP(t)=a/b e interpretar esse valor, e (c) aplicar ao caso da população dos EUA com a=0,03134, b=1,5887times10^-10 e p0=3.929.214, calculando P(10), P(20), P(30) (anos 1800, 1810, 1820), comparando com dados reais, e encontrar a população limite do modelo.

Passo 2

Usamos separação de variáveis. Escrevemos
dPP,(a - bP) = dt
Fazendo frações parciais:
1P(a - bP) = 1al(1P + ba - bPr)
Integrando em ambos os lados:
integral dPP(a - bP) = 1aintegrall(1P+ba - bPr)dP = t + C
Isso leva a
lnP,a - bP, = a,t + C',
onde C' é constante de integração.

Passo 3

Isolando P obtemos
Pa - bP = K,e^a t,
com K=e^C'. Daí
P(t) = aK,e^a t1 + bK,e^a t
Usando a condição P(0)=p0
K0 = p0a - b,p0,
logo
P(t) = K0,a,e^a t1 + K0,b,e^a t

Passo 4

Para o limite em tto+infty, como e^a tto+infty, o termo dominante no numerador é K0a,e^a t e no denominador é K0b,e^a t. Logo
limtto+inftyP(t) = K0,a,e^a tK0,b,e^a t = ab
Esse valor é a capacidade de suporte ou “população limite” do modelo.

Passo 5

Agora aplicamos aos EUA. Temos
a=0,03134, b=1,5887times10^-10, p0=3.929.214, t em anos desde 1790
Calculamos
K0=p0a - b,p0 approx 3,929,2140,03134 - (1,5887times10^-10)cdot3,929,214 approx1,28times10^8
Logo
P(t)=K0,a,e^a t1 + K0,b,e^a t
Para t=10,20,30 anos:
P(10)approx5,34times10^6, P(20)approx7,24times10^6, P(30)approx9,77times10^6
Comparando com reais 5,308,483;;7,239,881;;9,638,453, os erros relativos são de cerca de 0,57%, 0,002% e 1,36%, respectivamente.

Passo 6

A população limite do modelo é
ab =0,031341,5887times10^-10 approx1,97268times10^8
ou seja 197.268.206. Em 1970 a população real era 203.302.031, portanto o modelo subestima o valor real em cerca de 2,968%.

Resposta

P(t)=K0,a,e^a t1+K0,b,e^a t, K0=p0a-b,p0,
população limite limtto+inftyP(t)=abapprox197,268,206.
O modelo, a longo prazo, subestima a população real de 1970 em cerca de 2,968%.

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