Em 1837 o biologista Verhulst desenvolveu uma equação diferencial para modelar o crescimento de populações. Verhulst argumentou que taxa de variação de uma população
com respeito ao tempo deveria ser influenciada por fatores de crescimento (a população em si, por exemplo) e também fatores que tendem a limitar o crescimento (por exemplo, restrições de alimento ou espaço). Com isso ele chegou a sua equação logística:
onde
e
são constantes positivas cujos valores dependem das características da população em questão. A condição inicial é
, a população em algum tempo, designado por conveniência a ser zero. Resolva a equação acima. Mostre que
e interprete esse resultado. Em 1920, um estudo de Pearl and Reed
sugeriu os valores
e
para a população dos EUA. Determine
considerando
em anos e como tempo inicial o ano de 1790 , onde a população total dos EUA era de 3.929.214 pessoas. Usando esta fórmula, encontre a população nos anos 1800,1810 e 1820 e compare com os valores reais que são:
e 9.638.453. Encontre qual deveria ser a população limite (com
) dos EUA de acordo com esse modelo. Compare com o número de pessoas em 1970: 203.302.031. O que você observa?
(1) R. Pearl and L. J. Reed, On the rate of growth of the population of the United States since 1790 and its mathematical representation, Proceedings of the National Academy of Science, 6, p. 275-288, 1920.
Resposta:
, sendo
. Para os valores de
e
dados, a população limite é 197.268.206. Concluímos que o modelo, a longo prazo, forneceu um valor subestimado da população real, mas com erro relativo de
.
com respeito ao tempo deveria ser influenciada por fatores de crescimento (a população em si, por exemplo) e também fatores que tendem a limitar o crescimento (por exemplo, restrições de alimento ou espaço). Com isso ele chegou a sua equação logística:
(1) R. Pearl and L. J. Reed, On the rate of growth of the population of the United States since 1790 and its mathematical representation, Proceedings of the National Academy of Science, 6, p. 275-288, 1920.
Passo 1
O enunciado trata da equação logística
com condição inicial
. Queremos (a) resolver essa EDO por separação de variáveis, (b) mostrar que
e interpretar esse valor, e (c) aplicar ao caso da população dos EUA com
,
e
, calculando
,
,
(anos 1800, 1810, 1820), comparando com dados reais, e encontrar a população limite do modelo.
Passo 2
Usamos separação de variáveis. Escrevemos
Fazendo frações parciais:
Integrando em ambos os lados:
Isso leva a
onde
é constante de integração.
Passo 3
Isolando
obtemos
com
. Daí
Usando a condição
dá
logo
Passo 4
Para o limite em
, como
, o termo dominante no numerador é
e no denominador é
. Logo
Esse valor é a capacidade de suporte ou “população limite” do modelo.
Passo 5
Agora aplicamos aos EUA. Temos
Calculamos
Logo
Para
anos:
Comparando com reais
, os erros relativos são de cerca de
,
e
, respectivamente.
Passo 6
A população limite do modelo é
ou seja
. Em 1970 a população real era
, portanto o modelo subestima o valor real em cerca de
.
Resposta
população limite
O modelo, a longo prazo, subestima a população real de 1970 em cerca de