Encontre uma solução explícita para cada PVI abaixo, indicando um intervalo aberto I (contendo x0, obviamente), para o qual a solução é válida
y d yd x=4 x(1+y^2)^1 / 2, y(0)=1

Passo 1

O problema é o PVI
y,dydx = 4xraiz1+y^2, y(0)=1
Trata-se de uma EDO de primeira ordem, separável, pois podemos colocar todos os termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
yraiz1+y^2,dy ;=;4x,dx

Passo 3

Integre ambos os lados. No lado esquerdo, use u=1+y^2, du=2y,dy, então
integral yraiz1+y^2,dy =integral 12duraizu =raizu =raiz1+y^2
No lado direito,
integral 4x,dx =2x^2 + C
Logo,
raiz1+y^2=2x^2 + C

Passo 4

Aplique a condição inicial y(0)=1:
raiz1+1^2=raiz2=2cdot0^2 + C Longrightarrow C=raiz2
Assim
raiz1+y^2=2x^2 + raiz2

Passo 5

Resolva para y:
1+y^2=(2x^2+raiz2)^2 Longrightarrow y^2=(2x^2+raiz2)^2-1
Como y(0)=1>0, escolhemos o sinal positivo:
y(x) =raiz(2x^2+raiz2)^2-1 =raiz4x^4 +4raiz2,x^2 +1

Passo 6

O radicando 4x^4+4raiz2,x^2+1 é sempre positivo para todo xinR. Logo a solução está definida em
I=(-infty,infty)

Resposta

A solução explícita é
y(x)=raiz4x^4 +4raiz2,x^2 +1,
válida no intervalo aberto I=(-infty,infty).

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