Calcule a integral definida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir uma nova variável para facilitar:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Quando
,
, e quando
,
. Agora, substituímos na integral:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Aqui, tiramos
da integral porque é uma constante em relação a
.
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral:
Para isso, usamos a integração por partes, onde integrando funções exponenciais e trigonométricas, a fórmula geral é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Sabemos que
,
, e
, então:
Passo 6
Voltando à expressão original com o fator
:
Podemos escrever de forma mais limpa:
Resposta
A integral definida é igual a
.