Calcule a integral definida:
integral0^t e^-x cos (t-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^t e^-x cos (t-x) , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir uma nova variável para facilitar:
y = t - x
Então, a derivada de y em relação a x é:
dy = -dx Rightarrow dx = -dy
Quando x = 0 , y = t , e quando x = t , y = 0 . Agora, substituímos na integral:
integral0^t e^-x cos (t-x) , dx = integralt^0 e^-(t - y) cos(y) , (-dy) = integral0^t e^-(t - y) cos(y) , dy

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
e^-(t - y) = e^-t cdot e^y
Então, a integral fica:
e^-t integral0^t e^y cos(y) , dy
Aqui, tiramos e^-t da integral porque é uma constante em relação a y .

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
integral e^y cos(y) , dy
Para isso, usamos a integração por partes, onde integrando funções exponenciais e trigonométricas, a fórmula geral é:
integral e^ky cos(my) , dy = e^ky (k cos(my) + m sin(my))k^2 + m^2 + C
No nosso caso, k = 1 e m = 1 , então:
integral e^y cos(y) , dy = e^y (cos(y) + sin(y))2 + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a t :
[ e^y (cos(y) + sin(y))2 ]0^t = e^t (cos(t) + sin(t))2 - e^0 (cos(0) + sin(0))2
Sabemos que e^0 = 1 , cos(0) = 1 , e sin(0) = 0 , então:
= e^t (cos(t) + sin(t))2 - 1 cdot (1 + 0)2 = e^t (cos(t) + sin(t))2 - 12

Passo 6

Voltando à expressão original com o fator e^-t:
e^-t ( e^t (cos(t) + sin(t))2 - 12 ) = (cos(t) + sin(t))2 - e^-t2
Podemos escrever de forma mais limpa:
cos(t) + sin(t) - e^-t2

Resposta

A integral definida é igual a dfraccos(t) + sin(t) - e^-t2.

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