Encontre uma solução explícita para cada PVI abaixo, indicando um intervalo aberto I (contendo x0, obviamente), para o qual a solução é válida
d yd x=y^2-1x^2-1, y(2)=2.

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
dydx = y^2 - 1x^2 - 1, y(2)=2
É uma equação de variáveis separáveis: vamos separar y e x e integrar.

Passo 2

Antes de separar, note que os denominadores se anulam em x=pm1 e y=pm1. Como a condição inicial é (x0,y0)=(2,2), temos x0neqpm1 e y0neqpm1. Logo a solução existe num intervalo aberto contendo 2 que não inclua pm1; um exemplo é
I=(1,infty)

Passo 3

Separamos as variáveis:
1y^2-1,dy ;=;1x^2-1,dx

Passo 4

Integramos cada lado:
integral 1y^2-1,dy = integral 1x^2-1,dx
Como
integral 1u^2-1,du = 12 lnl|u-1u+1r| + C,
obtemos
tfrac12lnl|y-1y+1r| = tfrac12lnl|x-1x+1r| + C1

Passo 5

Multiplicando por 2 e exponenciando:
l|y-1y+1r| = C,l|x-1x+1r|,
onde C=e^2C1. No intervalo I=(1,infty) temos x>1 e, a posteriori, y>1, então podemos suprimir os valores absolutos e escrever
y-1y+1 = C,x-1x+1

Passo 6

Aplicamos y(2)=2:
2-12+1 = C,2-12+1 Longrightarrow 13 = C,13 Longrightarrow C=1

Passo 7

Com C=1, fica
y-1y+1 = x-1x+1
Basta multiplicar em cruz e simplificar para chegar a
y = x

Resposta

A solução explícita é
y(x) = x,
válida, por exemplo, no intervalo
I = (1,infty),
que contém x0=2 e não inclui os pontos singulares pm1.

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