Encontre uma solução explícita para cada PVI abaixo, indicando um intervalo aberto (contendo , obviamente), para o qual a solução é válida .
Passo 1
O enunciado apresenta o PVI
É uma equação de variáveis separáveis: vamos separar e e integrar.
Passo 2
Antes de separar, note que os denominadores se anulam em e . Como a condição inicial é , temos e . Logo a solução existe num intervalo aberto contendo que não inclua ; um exemplo é
Passo 3
Separamos as variáveis:
Passo 4
Integramos cada lado:
Como
obtemos
tfrac12lnl|y-1y+1r| = tfrac12lnl|x-1x+1r| + C1
Passo 5
Multiplicando por 2 e exponenciando:
l|y-1y+1r| = C,l|x-1x+1r|,
onde C=e^2C1. No intervalo I=(1,infty) temos x>1 e, a posteriori, y>1, então podemos suprimir os valores absolutos e escrever