Suponha que um foguete é lançado da superfície da Terra diretamente para cima com velocidade inicial
. Despreze a resistência do ar e as variações da massa total do foguete (devido à perda de combustível).
a. Encontre uma EDO que descreve a velocidade do foguete em função da sua distância
ao centro da Terra. Resolva a EDO correspondente e encontre essa velocidade. (Dica: a intensidade da força de atração gravitacional que a Terra exerce sobre um objeto de massa
a uma distância de
quilômetros do centro da Terra é
, sendo
uma constante de proporcionalidade e
a massa do foguete. Para encontrar
, use o fato que quando
, sendo
o raio da Terra, a força tem intensidade igual a
.)
b. Qual deve ser a velocidade inicial mínima do foguete para que o foguete “escape” da força de atração gravitacional da Terra?
c. Com a velocidade inicial encontrada no item (b), encontre o tempo necessário para o foguete percorrer a distância da terra à lua
. Use
e
.
a. Encontre uma EDO que descreve a velocidade do foguete em função da sua distância
b. Qual deve ser a velocidade inicial mínima do foguete para que o foguete “escape” da força de atração gravitacional da Terra?
c. Com a velocidade inicial encontrada no item (b), encontre o tempo necessário para o foguete percorrer a distância da terra à lua
Passo 1
O foguete de massa constante
é lançado verticalmente e sofre apenas a força gravitacional da Terra, que a uma distância
do centro vale
. Vamos formular uma EDO relacionando a velocidade
com a posição
e depois resolver para obter
. Usaremos também a condição em
(raio da Terra) para determinar
.
Passo 2
Pela segunda lei de Newton,
Como
, temos
Em
a força é
, logo
Passo 3
Integramos de
(velocidade
) até
(velocidade
):
Assim
Passo 4
Para que o foguete escape (
quando
), basta impor em
:
Logo
Substituindo
,km/h
e
,km,
Passo 5
Com
, nota-se que
O tempo para ir de
até
,km é
Numericamente,
Resposta
a.
b.
c.
b.
c.