Suponha que um foguete é lançado da superfície da Terra diretamente para cima com velocidade inicial v0. Despreze a resistência do ar e as variações da massa total do foguete (devido à perda de combustível).
a. Encontre uma EDO que descreve a velocidade do foguete em função da sua distância x ao centro da Terra. Resolva a EDO correspondente e encontre essa velocidade. (Dica: a intensidade da força de atração gravitacional que a Terra exerce sobre um objeto de massa m a uma distância de x quilômetros do centro da Terra é C mx^2, sendo C uma constante de proporcionalidade e m a massa do foguete. Para encontrar C, use o fato que quando x=R, sendo R o raio da Terra, a força tem intensidade igual a m g.)
b. Qual deve ser a velocidade inicial mínima do foguete para que o foguete “escape” da força de atração gravitacional da Terra?
c. Com a velocidade inicial encontrada no item (b), encontre o tempo necessário para o foguete percorrer a distância da terra à lua (x approx 384400 km). Use R=6371 km e g=127137,6 km / h^2.

Passo 1

O foguete de massa constante m é lançado verticalmente e sofre apenas a força gravitacional da Terra, que a uma distância x do centro vale tfracC,mx^2. Vamos formular uma EDO relacionando a velocidade v com a posição x e depois resolver para obter v(x). Usaremos também a condição em x=R (raio da Terra) para determinar C.

Passo 2

Pela segunda lei de Newton,
m,dvdt = -C,mx^2
Como tfracdvdt=(dv/dx)(dx/dt)=(dv/dx),v, temos
m,v,dvdx = -C,mx^2 Longrightarrow v,dvdx = -Cx^2
Em x=R a força é m,g, logo
C,mR^2=m,g Longrightarrow C = g,R^2

Passo 3

Integramos de x=R (velocidade v0) até x (velocidade v):
integralv0^v v',dv' = -CintegralR^xdx'x'^2 ;Longrightarrow; v^2 - v0^22 = -Cl(-1x+1Rr)
Assim
v^2 = v0^2 ;+;2,Cl(tfrac1x-tfrac1Rr) Longrightarrow v(x) = raiz,v0^2 ;+;2,g,R^2l(tfrac1x-tfrac1Rr),

Passo 4

Para que o foguete escape (
vto0 quando xtoinfty), basta impor em v^2:
0 = v0,min^2 + 2,Cl(0-tfrac1Rr) Longrightarrow v0,min^2 = 2,CR = 2,g,R
Logo
v0,min = raiz2,g,R
Substituindo g=127137,6,km/h ^2 e R=6371,km,
v0,min approx raiz2cdot127137,6cdot6371 approx 40250 km/h

Passo 5

Com v0=v0,min, nota-se que
v(x)=raiz2,C/x=raiz2,g,R^2x
O tempo para ir de R até L=384400,km é
t = integralR^Ldxv(x) = integralR^Ldxraiz2,g,R^2/x = 1raiz2,g,R^2 integralR^Lraizx,dx = 23raiz2,g,R^2l(L^3/2-R^3/2r)
Numericamente,
t approx 23raiz2cdot127137,6cdot6371^2 l(384400^3/2 - 6371^3/2r) approx 49,3 horas

Resposta

a. v(x)=raiz,v0^2 + 2,g,R^2l(tfrac1x-tfrac1Rr),
b. v0,min=raiz2,g,Rapprox40250 km/h
c. tapprox49,3 h

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