187 Determinar o resto da divisão de 7.812^{384}+5770^{23}+3572^{8} por 9

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de
7\,812^{384} \;+\; 5\,770^{23} \;+\; 3\,572^{8}
por 9. Aqui vamos usar aritmética modular, reduzindo cada base módulo 9 e aplicando propriedades de potências em congruências.

Passo 2

Calcular 7\,812^{384}\bmod9. Primeiro
7\,812 \bmod 9 = 0
pois 7+8+1+2=18 e 18 é múltiplo de 9. Logo
7\,812^{384} \equiv 0^{384} \equiv 0 \pmod{9}.

Passo 3

Calcular 5\,770^{23}\bmod9. Primeiro
5\,770 \bmod 9 = (5+7+7+0)\bmod9 = 19\bmod9 = 1.
Logo
5\,770^{23} \equiv 1^{23} \equiv 1 \pmod{9}.

Passo 4

Calcular 3\,572^{8}\bmod9. Primeiro
3\,572 \bmod 9 = (3+5+7+2)\bmod9 = 17\bmod9 = 8.
Como 8\equiv -1\pmod9, temos
8^{8} \equiv(-1)^{8} \equiv 1 \pmod{9}.
Portanto
3\,572^{8} \equiv 1 \pmod{9}.

Passo 5

Somando os restos obtidos:
0 + 1 + 1 = 2.
Assim, o resto da divisão por 9 é 2.

Resposta

2

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