Mostrar que:
3^{1000}-4 é divisível por 7 ;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 3^{1000} - 4 é divisível por 7.
O conteúdo aqui é aritmética modular, usando congruências e o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que para primo p e a não múltiplo de p vale
a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.

Passo 2

Lembrando que um número N é divisível por 7 se, e só se,
N \equiv 0 \pmod{7}.
Portanto queremos mostrar
3^{1000} - 4 \equiv 0 \pmod{7}.

Passo 3

Aplicando o Pequeno Teorema de Fermat com p=7 e a=3, como 3 não é múltiplo de 7, temos
3^{6} \equiv 1 \pmod{7}.
Escrevendo 1000 = 6\cdot 166 + 4, obtemos
3^{1000} = \bigl(3^6\bigr)^{166}\cdot 3^4 \equiv 1^{166}\cdot 3^4 \equiv 3^4 \pmod{7}.

Passo 4

Agora calculamos 3^4 e reduzimos módulo 7:
3^4 = 81,
e
81 \div 7 = 11\text{ (quociente)}\quad e\quad 81 - 11\cdot 7 = 4,
ou seja
3^4 \equiv 4 \pmod{7}.

Passo 5

Concluímos que
3^{1000} \equiv 4 \pmod{7} \quad\Longrightarrow\quad 3^{1000} - 4 \equiv 4 - 4 \equiv 0 \pmod{7},
o que significa exatamente que 3^{1000}-4 é divisível por 7.

Resposta

Portanto, 3^{1000} - 4 é divisível por 7.

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