Mostrar que:
2222^{5555}+5555^{2222} é divisível por 3;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma \,2222^{5555}+5555^{2222} é múltipla de 3, ou seja, que
2222^{5555}+5555^{2222}\equiv0\pmod{3}.
Vamos usar propriedades de aritmética modular para simplificar cada termo.

Passo 2

Calcular os resíduos das bases módulo 3. Como
2222 = 3\cdot740 + 2,
temos \,2222\equiv2\pmod{3}.
De modo análogo,
5555 = 3\cdot1851 + 2,
logo \,5555\equiv2\pmod{3}.

Passo 3

Note que 2\equiv -1\pmod{3}. Portanto, para qualquer inteiro n,
2^n\equiv(-1)^n\pmod{3},
que vale -1 se n for ímpar e +1 se n for par.

Passo 4

Como 5555 é ímpar e 2222 é par, temos
2222^{5555}\equiv2^{5555}\equiv(-1)^{5555}=-1\pmod{3},
5555^{2222}\equiv2^{2222}\equiv(-1)^{2222}=+1\pmod{3}.
Somando os dois resultados:
2222^{5555}+5555^{2222}\equiv(-1)+1=0\pmod{3},
o que prova a divisibilidade por 3.

Resposta

A expressão 2222^{5555}+5555^{2222} é divisível por 3.

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