(18pts) Calcule as int egrais
integral e^2 x2+e^x d x integral x sen(x) cos (x)5 d x integral x^2+3x^2-5 x+6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as seguintes integrais indefinidas:
integral e^2x2+e^x,dx, integral xsen(x)cos(x)5,dx, integral x^2+3x^2-5x+6,dx
Para isso vamos usar, respectivamente, substituição simples, identidade trigonométrica e integração por partes, e divisão de polinômios seguida de frações parciais.

Passo 2

Calcular integral e^2x2+e^x,dx por substituição.
Faça u=e^x, du=e^xdximplies e^2xdx=u,du ç
Então
integral e^2x2+e^x,dx =integral u2+u,du =integrall(1-2u+2r),du =u-2lnlvert u+2rvert +C
Voltando a x:
integral e^2x2+e^x,dx =e^x-2lnlvert 2+e^xrvert +C

Passo 3

Calcular integral xsen(x)cos(x)5,dx.
Use sen xcos x=tfrac12sen(2x) e fator constante:
integral xsen xcos x5,dx =110integral xsen(2x),dx
Agora integração por partes: seja
,U=x, ,dV=sen(2x)dx implies dU=dx, ,V=-tfrac12cos(2x).
integral xsen(2x),dx =U,V-integral V,dU =-x2cos(2x) +12integral cos(2x),dx =-x2cos(2x)+14sen(2x)+C
Multiplicando por tfrac110:
integral xsen xcos x5,dx =-x20cos(2x)+140sen(2x)+C

Passo 4

Calcular integral x^2+3x^2-5x+6,dx.
Primeiro faça divisão de polinômios:
x^2+3x^2-5x+6 =1+(x^2+3)-(x^2-5x+6)x^2-5x+6 =1+5x-3(x-2)(x-3)
Decompõe em frações parciais:
5x-3(x-2)(x-3) =Ax-2+Bx-3,
com
5x-3=A(x-3)+B(x-2) implies A+B=5,;-3A-2B=-3 implies A=-7,;B=12
Logo
x^2+3x^2-5x+6 =1-7x-2+12x-3
e
integral x^2+3x^2-5x+6,dx =integral 1,dx -7integral1x-2,dx +12integral1x-3,dx =x-7lnlvert x-2rvert+12lnlvert x-3rvert+C

Resposta

integral e^2x2+e^x,dx = e^x - 2lnlvert 2+e^x rvert + C
integral x sen(x) cos(x)5,dx = -x20 cos(2x) + 140 sen(2x) + C
integral x^2+3x^2 - 5x + 6,dx = x - 7 lnlvert x-2 rvert + 12 lnlvert x-3 rvert + C

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