( 6 pts) Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
integral2^infty 1e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral2^infty1e^2x,dx,
que podemos reescrever como
integral2^inftye^-2x,dx
Este é um caso de integral imprópria de tipo “infinito” envolvendo função exponencial; vamos usar a definição de limite para integrals impróprias.

Passo 2

Expressamos a integral como limite de integrais definidas:
integral2^inftye^-2x,dx = limbtoinftyintegral2^be^-2x,dx

Passo 3

Calculamos a primitiva de e^-2x. Em geral,
integral e^-2x,dx = -12,e^-2x + C

Passo 4

Usamos essa primitiva para avaliar a integral de 2 até b:
integral2^be^-2x,dx =[-tfrac12e^-2x]x=2^x=b =-tfrac12e^-2b+tfrac12e^-4

Passo 5

Agora fazemos btoinfty: como e^-2bto0 quando btoinfty,
limbtoinftyl(-tfrac12e^-2b+tfrac12e^-4r) =0+tfrac12e^-4 =12e^-4

Passo 6

Concluímos que a integral converge e seu valor é tfrac12e^-4.

Resposta

integral2^infty1e^2x,dx =12e^-4

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