(5pts) Considere g definida por
g(x)=integral0^x^2 sen(2 t^2) d t
e determine g^prime prime a derivada segunda de g.

Passo 1

O enunciado define
g(x)=integral0^x^2sinl(2t^2r),dt
e pede g''(x). Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (derivada de integral com limite dependente) e depois a regra da cadeia e do produto.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
g'(x)=sinl(2(x^2)^2r)cdotddx(x^2) =sinl(2x^4r)cdot2x =2xsinl(2x^4r)

Passo 3

Para obter g''(x) aplicamos a regra do produto em g'(x)=2xsin(2x^4). A derivada de 2x é 2 e a de sin(2x^4) é cos(2x^4)cdot8x^3. Assim,
g''(x) =2sinl(2x^4r) +2xcdotl(8x^3cos(2x^4)r) =2sinl(2x^4r) +16x^4cosl(2x^4r)

Resposta

g''(x)=2sinl(2x^4r)+16x^4cosl(2x^4r)

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