Dada a função f(x, y)=x^2 y+y^3, encontre a derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção do vetor u=(3 / 5,4 / 5).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^2y+y^3
e pede a derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção do vetor unitário u=(tfrac35,tfrac45). O conteúdo envolvido é derivada direcional, que se obtém calculando o gradiente de f e fazendo o produto escalar com u.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2xy, partial fpartial y=x^2+3y^2

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em (1,2):
partial fpartial x(1,2)=2cdot1cdot2=4, partial fpartial y(1,2)=1^2+3cdot2^2=1+12=13
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nabla f(1,2)=(4,13)

Passo 4

Verificamos que u=(tfrac35,tfrac45) é unitário, pois
raizl(tfrac35r)^2+l(tfrac45r)^2 =raiztfrac925+tfrac1625=1

Passo 5

A derivada direcional de f em (1,2) na direção de u é
Duf(1,2) =nabla f(1,2)cdot u =4cdottfrac35+13cdottfrac45 =12+525 =645

Resposta

645

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