(18pts) Calcule as integrais
Passo 1
O problema pede para calcular três integrais usando técnicas de cálculo integral: decomposição em frações parciais, substituição e integração por partes.
Passo 2
Para
Então fazemos decomposição em frações parciais: procuramos constantes A, B, C tais que
$$
\frac{-x{2}-3x}{(x+1)(x{2}+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
\quad B=-2,
\quad C=-1.
\quad C=-1.
\int\frac{1}{x+1},dx+\int\frac{-2x-1}{x^{2}+1},dx.
$$
Passo 3
Integrando cada parte: para a primeira
. Para a segunda:
Somando tudo, obtemos
Passo 4
Para
fazemos a substituição
, logo
$$du=-5x^{-6},dx\quad\Longrightarrow\quad x^{-6},dx=-\frac{1}{5}du.
\int e{u},u,x{-6},dx=-\tfrac{1}{5}\int u e^{u},du.
$$
Esta última é feita por partes.
Esta última é feita por partes.
Passo 5
Escolhendo em
o par
, temos
$$\int u e^{u},du=u e^{u}-\int e^{u},du=u e{u}-e{u}.
-\tfrac{1}{5}(u e{u}-e{u})+C=\frac{e^{u}(1-u)}{5}+C.
\frac{e{1/x{5}}\bigl(1-1/x^{5}\bigr)}{5}+C.
$$
Passo 6
Para
usamos integração por partes duas vezes. Primeiro, definimos
\int x{2}\sin(2x),dx=-\tfrac{x{2}}{2}\cos(2x)+\int x\cos(2x),dx.
$$
Passo 7
Na segunda parte, para
tomamos
\int x\cos(2x),dx=\tfrac{x}{2}\sin(2x)-\tfrac{1}{2}\int\sin(2x),dx
=\tfrac{x}{2}\sin(2x)+\tfrac{1}{4}\cos(2x).
=\tfrac{x}{2}\sin(2x)+\tfrac{1}{4}\cos(2x).
-\tfrac{x^{2}}{2}\cos(2x)+\tfrac{x}{2}\sin(2x)+\tfrac{1}{4}\cos(2x)+C.
$$