(18pts) Calcule as integrais
integral -x^2-3 xx^3+x^2+x+1 d x integral e^1 / x^5x^11 d x integral x^2 sen(2 x) d x

Passo 1

O problema pede para calcular três integrais usando técnicas de cálculo integral: decomposição em frações parciais, substituição e integração por partes.

Passo 2

Para
integral -x^2-3xx^3+x^2+x+1,dx observe que o denominador fatora como
x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)
Então fazemos decomposição em frações parciais: procuramos constantes A, B, C tais que
$$
\frac{-x{2}-3x}{(x+1)(x{2}+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
-x^2-3x(x+1)(x^2+1)=Ax+1+Bx+Cx^2+1 A=1,
\quad B=-2,
\quad C=-1.
(x+1)(x^2+1)
\int\frac{1}{x+1},dx+\int\frac{-2x-1}{x^{2}+1},dx.
$$

Passo 3

Integrando cada parte: para a primeira integral1/(x+1),dx=ln|x+1|. Para a segunda:
integral-2xx^2+1,dx=-ln(x^2+1), integral-1x^2+1,dx=-arctan x
Somando tudo, obtemos
ln|x+1|-ln(x^2+1)-arctan x + C

Passo 4

Para
integral e^1/x^5x^11,dx
fazemos a substituição u=1/x^5, logo
$$du=-5x^{-6},dx\quad\Longrightarrow\quad x^{-6},dx=-\frac{1}{5}du.
du=-5x^-6,dxLongrightarrow x^-6,dx=-15du
\int e{u},u,x{-6},dx=-\tfrac{1}{5}\int u e^{u},du.
$$
Esta última é feita por partes.

Passo 5

Escolhendo em integral u e^u,du o par U=u, dV=e^udu, temos
$$\int u e^{u},du=u e^{u}-\int e^{u},du=u e{u}-e{u}.
integral u e^u,du=u e^u-integral e^u,du=u e^u-e^u à
-\tfrac{1}{5}(u e{u}-e{u})+C=\frac{e^{u}(1-u)}{5}+C.
-tfrac15(u e^u-e^u)+C=e^u(1-u)5+C
\frac{e{1/x{5}}\bigl(1-1/x^{5}\bigr)}{5}+C.
$$

Passo 6

Para
integral x^2sin(2x),dx
usamos integração por partes duas vezes. Primeiro, definimos
U=x^2, dV=sin(2x),dx$$dU=2x,dx,\quad V=-\tfrac{1}{2}\cos(2x).
dU=2x,dx, V=-tfrac12cos(2x) á
\int x{2}\sin(2x),dx=-\tfrac{x{2}}{2}\cos(2x)+\int x\cos(2x),dx.
$$

Passo 7

Na segunda parte, para integral xcos(2x),dx tomamos
U=x, dV=cos(2x)dx$$dU=dx,\ V=\tfrac{1}{2}\sin(2x).
dU=dx, V=tfrac12sin(2x) ã
\int x\cos(2x),dx=\tfrac{x}{2}\sin(2x)-\tfrac{1}{2}\int\sin(2x),dx
=\tfrac{x}{2}\sin(2x)+\tfrac{1}{4}\cos(2x).
integral xcos(2x),dx=tfracx2sin(2x)-tfrac12integralsin(2x),dx =tfracx2sin(2x)+tfrac14cos(2x) é
-\tfrac{x^{2}}{2}\cos(2x)+\tfrac{x}{2}\sin(2x)+\tfrac{1}{4}\cos(2x)+C.
$$

Resposta

ln|x+1x^2+1|-arctan x + C
e^1/x^5l(1-1/x^5r)5+C
-tfracx^22cos(2x)+tfracx2sin(2x)+tfrac14cos(2x)+C

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