( 18 p t s) Calcule as integrais
integral 3 x+2x^4-1 d x integral 2^x2^x+6 d x integral x^3(ln (x))^2 d x

Passo 1

O enunciado pede três integrais envolvendo conteúdos distintos de cálculo integral:
1. integral 3x+2x^4-1,dx — aqui vamos usar frações parciais, pois x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1).
2. integral 2^x2^x+6,dx — um simples u-substituição com u=2^x+6.
3. integral x^3(ln x)^2,dx — aplicação de duas integrações por partes em cascata.

Passo 2

Para integral 3x+2x^4-1,dx fazemos frações parciais. Escrevemos
3x+2(x-1)(x+1)(x^2+1) =Ax-1+Bx+1+Cx+Dx^2+1
Multiplicando por (x-1)(x+1)(x^2+1) e igualando coeficientes, obtém-se
A=tfrac54, B=tfrac14, C=-tfrac32, D=-1
Logo
3x+2x^4-1 =5/4x-1+1/4x+1+-tfrac32,x-1x^2+1
Integrando cada termo:
integral 5/4x-1,dx =54lnlvert x-1rvert, integral 1/4x+1,dx =14lnlvert x+1rvert,
integral-tfrac32,xx^2+1,dx =-34ln(x^2+1), integral-1x^2+1,dx =-arctan x
Portanto
integral 3x+2x^4-1,dx =54lnlvert x-1rvert +14lnlvert x+1rvert -34ln(x^2+1) -arctan x +C1

Passo 3

Para integral 2^x2^x+6,dx fazemos u=2^x+6. Então ,du=ln(2),2^x,dx, isto é, 2^x,dx=duln 2. Assim
integral 2^x2^x+6,dx =integral 1u,duln2 =1ln2lnlvert urvert +C2 =1ln2lnl(2^x+6r)+C2

Passo 4

Para integral x^3(ln x)^2,dx usamos partes duas vezes.
Tomamos primeiro
u=(ln x)^2,;dv=x^3,dx, daí
,du=2ln xx,dx,;v=x^44.
Logo
integral x^3(ln x)^2,dx =x^44(ln x)^2 -integral x^44,2ln xx,dx =x^44(ln x)^2 -12integral x^3ln x,dx
Agora calculamos integral x^3ln x,dx por partes novamente com
u=ln x,;dv=x^3,dx, de modo que
,du=1x,dx,;v=x^44. Assim
integral x^3ln x,dx =x^44ln x -integral x^441x,dx =x^44ln x -14integral x^3,dx =x^44ln x -x^416
Substituindo de volta:
integral x^3(ln x)^2,dx =x^44(ln x)^2 -12l(x^44ln x-x^416r) =x^44(ln x)^2 -x^48ln x +x^432 +C3

Resposta

(a) integral 3x+2x^4-1,dx = 54lnlvert x-1 rvert + 14lnlvert x+1 rvert - 34ln(x^2+1) - arctan x + C1
(b) integral 2^x2^x+6,dx = 1ln 2 lnl(2^x+6r) + C2
(c) integral x^3 (ln x)^2 , dx = x^44 (ln x)^2 - x^48 ln x + x^432 + C3

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