(5pts) Determine a derivada da função
g(x)=integral0^cos (x) 3 arccos (t)^3+5 arccos (t)^2 d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=integral0^cos(x)l[3arccos(t)^3+5arccos(t)^2r],dt
O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) combinado com a Regra da Cadeia, pois o limite superior é uma função de x.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
G(u)=integral0^uf(t),dt,
então G'(u)=f(u). Como g(x)=Gl(cos(x)r), aplicamos a Regra da Cadeia:
g'(x)=G'l(cos(x)r)cdotddxl(cos(x)r) =l[,3arccos(cos(x))^3+5arccos(cos(x))^2r]cdot(-sin(x))

Passo 3

Observação: no intervalo ,xin[0,pi], vale arccos(cos(x))=x. Assim, para xin[0,pi] podemos simplificar:
g'(x)=-(3x^3+5x^2)sin(x)

Resposta

g'(x)=-l[3arccos(cos(x))^3+5arccos(cos(x))^2r]sin(x),
que, para xin[0,pi], fica
g'(x)=-(3x^3+5x^2)sin(x)

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