i) Defina ponto crítico de f(x).
ii) Dê exemplo simples de uma função f(x) onde o ponto crítico não é máximo e nem mínimo.
iii) Quais as definições de máximo e mínimo globais (ou seja, absolutos) e máximos e mínimos

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre funções de variável real:
i) definir o que é ponto crítico de f(x);
ii) dar um exemplo simples em que o ponto crítico não seja nem máximo nem mínimo;
iii) formular as definições de máximos e mínimos globais (absolutos) e locais (relativos).
Para isso vamos usar conceitos básicos de derivada e vizinhança de pontos no domínio de f.

Passo 2

Um ponto x=c é chamado de ponto crítico de f se c pertence ao domínio de f e satisfaz uma das duas condições:
  1. f'(c)=0, ou
  2. f' não está definido em c.
    A ideia é que ali a taxa de variação de f “pára” ou a derivada deixa de existir.

Passo 3

Um exemplo clássico é
f(x)=x^3
Calculando a derivada, temos f'(x)=3x^2, que zera em x=0. Logo x=0 é ponto crítico. Mas como o gráfico de x^3 atravessa o eixo sem mudar de crescente para decrescente (é um ponto de inflexão), esse ponto não é nem um máximo nem um mínimo.

Passo 4

Definimos agora extremos globais (absolutos) e locais (relativos):
Máximo global (absoluto) em cin D:
f(c)>= f(x) para todo xin D,
onde D é o domínio de f.
Mínimo global (absoluto) em cin D:
f(c)<= f(x) para todo xin D
Máximo local (relativo) em cin D: existe de<a>0 tal que
f(c)>= f(x) sempre que |x-c|<de<a e xin D
Mínimo local (relativo) em cin D: existe de<a>0 tal que
f(c)<= f(x) sempre que |x-c|<de<a e xin D

Resposta

i) Um ponto crítico de f(x) é um c no domínio de f tal que f'(c)=0 ou f' não existe em c.
ii) Exemplo: f(x)=x^3 tem ponto crítico em x=0, mas não é máximo nem mínimo.
iii)
  • Máximo global em c se f(c)>= f(x) para todo x do domínio.
  • Mínimo global em c se f(c)<= f(x) para todo x do domínio.
  • Máximo local em c se existe intervalo ao redor de c em que f(c) é maior ou igual aos valores próximos.
  • Mínimo local em c se existe intervalo ao redor de c em que f(c) é menor ou igual aos valores próximos.

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