i) Defina ponto crítico de
.
ii) Dê exemplo simples de uma função
onde o ponto crítico não é máximo e nem mínimo.
iii) Quais as definições de máximo e mínimo globais (ou seja, absolutos) e máximos e mínimos
ii) Dê exemplo simples de uma função
iii) Quais as definições de máximo e mínimo globais (ou seja, absolutos) e máximos e mínimos
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre funções de variável real:
i) definir o que é ponto crítico de ;
ii) dar um exemplo simples em que o ponto crítico não seja nem máximo nem mínimo;
iii) formular as definições de máximos e mínimos globais (absolutos) e locais (relativos).
Para isso vamos usar conceitos básicos de derivada e vizinhança de pontos no domínio de .
i) definir o que é ponto crítico de
ii) dar um exemplo simples em que o ponto crítico não seja nem máximo nem mínimo;
iii) formular as definições de máximos e mínimos globais (absolutos) e locais (relativos).
Para isso vamos usar conceitos básicos de derivada e vizinhança de pontos no domínio de
Passo 2
Um ponto
é chamado de ponto crítico de
se
pertence ao domínio de
e satisfaz uma das duas condições:
-
, ou -
não está definido em .
A ideia é que ali a taxa de variação de“pára” ou a derivada deixa de existir.
Passo 3
Um exemplo clássico é
Calculando a derivada, temos
, que zera em
. Logo
é ponto crítico. Mas como o gráfico de
atravessa o eixo sem mudar de crescente para decrescente (é um ponto de inflexão), esse ponto não é nem um máximo nem um mínimo.
Passo 4
Definimos agora extremos globais (absolutos) e locais (relativos):
– Máximo global (absoluto) em
:
onde
é o domínio de
.
– Mínimo global (absoluto) em
:
– Máximo local (relativo) em
: existe
tal que
– Mínimo local (relativo) em
: existe
tal que
Resposta
i) Um ponto crítico de
é um
no domínio de
tal que
ou
não existe em
.
ii) Exemplo: tem ponto crítico em
, mas não é máximo nem mínimo.
iii)
ii) Exemplo:
iii)
- Máximo global em
se para todo do domínio. - Mínimo global em
se para todo do domínio. - Máximo local em
se existe intervalo ao redor de em que é maior ou igual aos valores próximos. - Mínimo local em
se existe intervalo ao redor de em que é menor ou igual aos valores próximos.