19-12(x-1)^{2}=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação (x-1)^{2}=x. Isso é um problema de equação quadrática: vamos expandir o quadrado, reorganizar em forma padrão ax^2+bx+c=0 e depois usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes.

Passo 2

Expandindo o termo ao quadrado temos
(x-1)^{2} = x^{2} - 2x + 1.
Logo, a equação passa a ser
x^{2} - 2x + 1 = x.

Passo 3

Colocamos tudo em um lado para obter a forma padrão:
x^{2} - 2x + 1 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - 3x + 1 = 0.

Passo 4

É uma equação do tipo ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=-3 e c=1. A fórmula de Bhaskara diz
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2} - 4\cdot1\cdot1 = 9 - 4 = 5.
Portanto as raízes são
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2\cdot1} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}.

Resposta

As soluções da equação (x-1)^{2}=x são
x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \quad\text{e}\quad x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}.

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