25-26 Determine o campo vetorial gradiente
de
e o esboce.
25.
26.
25.
26.
Passo 1
O enunciado pede, para cada função dada, duas coisas:
- Determinar o campo vetorial gradiente
da função . - Esboçar qualitativamente esse campo vetorial.
As funções fornecidas são:
- (25)
. - (26)
.
Vou trabalhar um caso por vez, calculando as derivadas parciais, montando
e explicando como esboçar o campo de vetores de forma prática.
Passo 2
O que é o gradiente e como calculá-lo (explicação prática)?
- O gradiente de uma função
é o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e a . Em símbolos:
- Intuição: o vetor
aponta na direção de maior aumento de em torno do ponto ; seu comprimento indica a taxa de variação nessa direção. - Para calcular
tratamos como constante e derivamos em relação a . Para tratamos como constante e derivamos em relação a . - Vou mostrar passo a passo as derivadas para cada função e depois falar como isso vira um esboço à caneta.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais para (25):
.
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui
é tratado como constante, então a derivada de
é
e a de
é
. Logo
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui
é constante, a derivada de
é
e a de
é
. Logo
- Portanto o gradiente é
Passo 4
Interpretação e esboço do campo para (25):
.
- Observações importantes:
- O componente horizontal do vetor é
. Ele depende só de , não depende de . Isso significa que em cada coluna vertical (fixando ) todos os vetores têm a mesma componente horizontal. - O componente vertical é constante e igual a
. Então todos os vetores têm sempre uma ponta apontando para baixo (com intensidade ). - Assim, para
a componente horizontal é positiva (vetor tem tendência para a direita); para é negativa (tendência para a esquerda); em a componente horizontal é zero, então ali o vetor é puramente para baixo.
- O componente horizontal do vetor é
- Magnitude do vetor:
Maior
→ maior comprimento horizontal dominante.
- Como esboçar na prova (passo a passo prático):
- Marque uma grade de pontos, por exemplo
com e . - Para cada
calcule e desenhe o vetor cujo componente horizontal é e vertical é . - Exemplos numéricos (úteis para desenhar):
- Marque uma grade de pontos, por exemplo
- Para colunas
constante, todos os vetores têm mesma direção e comprimento; a coluna tem vetores verticais para baixo; colunas positivas têm vetores inclinados para baixo-direita; colunas negativas inclinados para baixo-esquerda.
- Visual mental: imagine “setas caindo” para baixo em todas as posições, inclinadas cada vez mais para a direita quando
cresce.
Passo 5
Exemplo guiado de desenho para (25) (para praticar na folha):
- Em
desenhe uma seta curta para baixo: . - Em
desenhe uma seta com componente horizontal e vertical : ela aponta para baixo-direita, mais longa que a de . - Em
desenhe uma seta ainda mais longa para baixo-direita: (proporcionalmente). - Em
desenhe seta para baixo-esquerda: .
Isso já dá o padrão e com isso o esboço fica claro e rápido.
Passo 6
Cálculo das derivadas parciais para (26):
.
- Primeiro reconheça que
. Vamos usar a regra da cadeia. - Derivada parcial em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia: se
então
. Tomando
e multiplicando pela derivada de
em relação a
que é
, obtemos
- Derivada parcial em relação a
é análoga:
- Portanto, para
,
- Observação sobre o ponto
: a fórmula envolve divisão por . Em isso dá divisão por zero, e de fato não é diferenciável em . Então não está definido.
Passo 7
Interpretação e esboço do campo para (26):
com
para
.
- Observações importantes:
- O vetor
é exatamente o vetor radial unitário (aponta para fora do origem), porque
- O vetor
para todo
.
- Isso significa que, em qualquer ponto exceto a origem, o gradiente aponta diretamente para fora (na direção do vetor posição) e tem comprimento
. - Em
o gradiente não existe; geometricamente, tem um “pico suave” em zero no qual a direção do maior aumento não é bem definida de forma diferenciável. - Como esboçar na prova (passo a passo prático):
- Marque alguns pontos ao redor da origem: por exemplo
, , , , e diagonais como , . - Em cada ponto desenhe uma seta unitária apontando radialmente para fora:
- Marque alguns pontos ao redor da origem: por exemplo
- Todos os vetores têm o mesmo comprimento (unidade) e ficam distribuidos radialmente — o campo parece um “vento” soprando para fora com intensidade constante.
- Visual mental: círculos concêntricos com setas perpendiculares a eles, todas de mesmo comprimento, apontando para fora.
Passo 8
Exemplos numéricos e diferenças práticas entre os dois campos (dicas para a prova)
- Para (25) os vetores variam em comprimento e direção conforme
; para (26) os vetores têm comprimento constante e direção radial. - Exemplos já dados (úteis para checar no rascunho da prova):
- Lembrete prático: em um esboço rápido, não é preciso desenhar o comprimento exato; bastam direções corretas e comparação relativa de tamanhos (por exemplo, em (25) desenhar mais compridas as setas com
grande).
Passo 9
Conselhos finais (motivação rápida)
- Se estiver sem tempo, faça estes dois passos na prova: calcule as derivadas parciais explicitamente (isso garante a resposta correta) e desenhe 4–6 vetores de amostra para mostrar o padrão. Isso costuma ser suficiente para obter a pontuação.
- Você está indo bem: repita os exemplos numa folha e tente desenhar as colunas (para 25) e radiais (para 26) até ficar automático — isso economiza tempo na hora da prova.