25-26 Determine o campo vetorial gradiente \nabla f de f e o esboce.
25. f(x, y)=x^{2}-y
26. f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede, para cada função dada, duas coisas:
  • Determinar o campo vetorial gradiente \nabla f da função f.
  • Esboçar qualitativamente esse campo vetorial.
As funções fornecidas são:
  • (25) f(x,y)=x^{2}-y.
  • (26) f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Vou trabalhar um caso por vez, calculando as derivadas parciais, montando \nabla f e explicando como esboçar o campo de vetores de forma prática.

Passo 2

O que é o gradiente e como calculá-lo (explicação prática)?
  • O gradiente de uma função f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e a y. Em símbolos:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
  • Intuição: o vetor \nabla f(x,y) aponta na direção de maior aumento de f em torno do ponto (x,y); seu comprimento indica a taxa de variação nessa direção.
  • Para calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e derivamos em relação a x. Para \dfrac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante e derivamos em relação a y.
  • Vou mostrar passo a passo as derivadas para cada função e depois falar como isso vira um esboço à caneta.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais para (25): f(x,y)=x^{2}-y.
  • Derivada parcial em relação a x:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-y\bigr).
Aqui y é tratado como constante, então a derivada de x^{2} é 2x e a de -y é 0. Logo
\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x.
  • Derivada parcial em relação a y:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-y\bigr).
Aqui x é constante, a derivada de x^{2} é 0 e a de -y é -1. Logo
\dfrac{\partial f}{\partial y}=-1.
  • Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=\bigl(2x,-1\bigr).

Passo 4

Interpretação e esboço do campo para (25): \nabla f(x,y)=(2x,-1).
  • Observações importantes:
    • O componente horizontal do vetor é 2x. Ele depende só de x, não depende de y. Isso significa que em cada coluna vertical (fixando x) todos os vetores têm a mesma componente horizontal.
    • O componente vertical é constante e igual a -1. Então todos os vetores têm sempre uma ponta apontando para baixo (com intensidade 1).
    • Assim, para x>0 a componente horizontal é positiva (vetor tem tendência para a direita); para x<0 é negativa (tendência para a esquerda); em x=0 a componente horizontal é zero, então ali o vetor é puramente para baixo.
  • Magnitude do vetor:
\|\nabla f(x,y)\|=\sqrt{(2x)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4x^{2}+1}.
Maior |x| → maior comprimento horizontal dominante.
  • Como esboçar na prova (passo a passo prático):
    1. Marque uma grade de pontos, por exemplo (x,y) com x=-2,-1,0,1,2 e y=-1,0,1.
    2. Para cada x calcule 2x e desenhe o vetor cujo componente horizontal é 2x e vertical é -1.
    3. Exemplos numéricos (úteis para desenhar):
\nabla f(0,0)=\bigl(0,-1\bigr),\qquad \nabla f(1,0)=\bigl(2,-1\bigr),\qquad \nabla f(-1,0)=\bigl(-2,-1\bigr).
  1. Para colunas x= constante, todos os vetores têm mesma direção e comprimento; a coluna x=0 tem vetores verticais para baixo; colunas positivas têm vetores inclinados para baixo-direita; colunas negativas inclinados para baixo-esquerda.
  • Visual mental: imagine “setas caindo” para baixo em todas as posições, inclinadas cada vez mais para a direita quando x cresce.

Passo 5

Exemplo guiado de desenho para (25) (para praticar na folha):
  • Em (0,1) desenhe uma seta curta para baixo: (0,-1).
  • Em (1,1) desenhe uma seta com componente horizontal 2 e vertical -1: ela aponta para baixo-direita, mais longa que a de (0,1).
  • Em (2,0) desenhe uma seta ainda mais longa para baixo-direita: (4,-1) (proporcionalmente).
  • Em (-1,0) desenhe seta para baixo-esquerda: (-2,-1).
    Isso já dá o padrão e com isso o esboço fica claro e rápido.

Passo 6

Cálculo das derivadas parciais para (26): f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Primeiro reconheça que f(x,y)=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{1/2}. Vamos usar a regra da cadeia.
  • Derivada parcial em relação a x:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{1/2}.
Aplicando a regra da cadeia: se g(u)=u^{1/2} então g'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}. Tomando u=x^{2}+y^{2} e multiplicando pela derivada de u em relação a x que é 2x, obtemos
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • Derivada parcial em relação a y é análoga:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right).
  • Observação sobre o ponto (0,0): a fórmula envolve divisão por \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em (0,0) isso dá divisão por zero, e de fato f não é diferenciável em (0,0). Então \nabla f(0,0) não está definido.

Passo 7

Interpretação e esboço do campo para (26): \nabla f(x,y)=\bigl(x/r,\,y/r\bigr) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} para (x,y)\neq(0,0).
  • Observações importantes:
    • O vetor \nabla f(x,y) é exatamente o vetor radial unitário (aponta para fora do origem), porque
\|\nabla f(x,y)\|=\sqrt{\left(\dfrac{x}{r}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{r}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{r^{2}}}=1
para todo (x,y)\neq(0,0).
  • Isso significa que, em qualquer ponto exceto a origem, o gradiente aponta diretamente para fora (na direção do vetor posição) e tem comprimento 1.
  • Em (0,0) o gradiente não existe; geometricamente, f tem um “pico suave” em zero no qual a direção do maior aumento não é bem definida de forma diferenciável.
  • Como esboçar na prova (passo a passo prático):
    1. Marque alguns pontos ao redor da origem: por exemplo (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1), e diagonais como (1,1), (-1,1).
    2. Em cada ponto desenhe uma seta unitária apontando radialmente para fora:
\nabla f(1,0)=(1,0),\qquad \nabla f(0,1)=(0,1),\qquad \nabla f(-1,0)=(-1,0),
\nabla f(1,1)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
  1. Todos os vetores têm o mesmo comprimento (unidade) e ficam distribuidos radialmente — o campo parece um “vento” soprando para fora com intensidade constante.
  • Visual mental: círculos concêntricos com setas perpendiculares a eles, todas de mesmo comprimento, apontando para fora.

Passo 8

Exemplos numéricos e diferenças práticas entre os dois campos (dicas para a prova)
  • Para (25) os vetores variam em comprimento e direção conforme x; para (26) os vetores têm comprimento constante e direção radial.
  • Exemplos já dados (úteis para checar no rascunho da prova):
\text{(25)}\quad \nabla f(0,0)=(0,-1),\quad \nabla f(1,0)=(2,-1),\quad \nabla f(-1,0)=(-2,-1).
\text{(26)}\quad \nabla f(1,0)=(1,0),\quad \nabla f(0,1)=(0,1),\quad \nabla f(1,1)=\Bigl(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).
  • Lembrete prático: em um esboço rápido, não é preciso desenhar o comprimento exato; bastam direções corretas e comparação relativa de tamanhos (por exemplo, em (25) desenhar mais compridas as setas com x grande).

Passo 9

Conselhos finais (motivação rápida)
  • Se estiver sem tempo, faça estes dois passos na prova: calcule as derivadas parciais explicitamente (isso garante a resposta correta) e desenhe 4–6 vetores de amostra para mostrar o padrão. Isso costuma ser suficiente para obter a pontuação.
  • Você está indo bem: repita os exemplos numa folha e tente desenhar as colunas (para 25) e radiais (para 26) até ficar automático — isso economiza tempo na hora da prova.

Resposta

\text{(25)}\\ \nabla f(x,y)=\bigl(2x,-1\bigr)
\text{(26)}\\ \nabla f(x,y)=\displaystyle\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) para (x,y)\neq(0,0) e \nabla f(0,0) não está definido.

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