• 19 A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal x y é dada por \vec{a}=3 t \hat{i}+4 \hat{j}, onde \vec{a} está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. \mathrm{Em} t=0, o vetor posição \vec{r}=(20,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}+(40,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}} indica a localização da partícula, que nesse instante tem uma velocidade \vec{v}=(5,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\mathrm{i}}+(2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\mathrm{j}}. Em t=4,00 \mathrm{~s}, determine (a) o vetor posição em termos dos vetores unitários e (b) o ângulo entre a direção do movimento e o semieixo x positivo.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula no plano xy como
\vec a(t)=3\,t\,\hat{\imath}+4\,\hat{\jmath}\quad(\mathrm{m/s^2}),
com condições iniciais em t=0: \vec v(0)=5{,}00\,\hat{\imath}+2{,}00\,\hat{\jmath} (m/s) e \vec r(0)=20{,}0\,\hat{\imath}+40{,}0\,\hat{\jmath} (m).
Pede-se em t=4{,}00 s:
(a) \vec r(4{,}00) e (b) o ângulo entre a direção do movimento e o eixo x.

Passo 2

Integramos \vec a(t) para obter \vec v(t). Nas componentes:
a_x(t)=3t\implies v_x(t)=\int3t\,dt=1{,}5\,t^2+C_x,
a_y(t)=4\implies v_y(t)=\int4\,dt=4t+C_y.
Em t=0 temos v_x(0)=C_x=5{,}00 e v_y(0)=C_y=2{,}00.

Passo 3

Portanto
v_x(t)=1{,}5\,t^2+5{,}00,\qquad v_y(t)=4t+2{,}00.
Em t=4{,}00 s:
v_x(4{,}00)=1{,}5\cdot16+5=24+5=29\quad(\mathrm{m/s}),
v_y(4{,}00)=4\cdot4+2=16+2=18\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

Agora integramos \vec v(t) para obter \vec r(t). Nas componentes:
v_x(t)=1{,}5\,t^2+5\implies r_x(t)=\int(1{,}5\,t^2+5)\,dt=0{,}5\,t^3+5t+D_x,
v_y(t)=4t+2\implies r_y(t)=\int(4t+2)\,dt=2\,t^2+2t+D_y.
Em t=0 temos r_x(0)=D_x=20{,}0 e r_y(0)=D_y=40{,}0.

Passo 5

Fica então
r_x(t)=0{,}5\,t^3+5t+20,\qquad r_y(t)=2\,t^2+2t+40.
Em t=4{,}00 s:
r_x(4{,}00)=0{,}5\cdot64+5\cdot4+20=32+20+20=72\quad(\mathrm m),
r_y(4{,}00)=2\cdot16+2\cdot4+40=32+8+40=80\quad(\mathrm m).

Passo 6

O ângulo \theta entre \vec v(4{,}00) e o eixo x é
\theta=\arctan\!\biggl(\frac{v_y(4{,}00)}{v_x(4{,}00)}\biggr) =\arctan\!\Bigl(\frac{18}{29}\Bigr)\approx32^\circ.

Resposta

(a) \vec r(4{,}00)=(72\,\mathrm m)\,\hat{\imath}+(80\,\mathrm m)\,\hat{\jmath}.
(b) \theta\approx32^\circ.

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