Considere um anel de raio R, carregado uniformemente, e um eixo z que passa pelo seu centro. a) Encontre o campo elétrico associado ao anel em função de um ponto sobre esse eixo; b) usando o resultado encontrado anteriormente, determine a distância ao longo do eixo central em que o módulo do campo elétrico é máximo?

Passo 1

O enunciado descreve um anel de raio R, com carga total Q distribuída uniformemente sobre sua circunferência, e pede o campo elétrico ao longo do eixo z que passa pelo centro do anel. Vamos usar a lei de Coulomb e simetria axial para determinar E(z) e depois maximizar seu módulo em função de z.

Passo 2

Para um ponto P sobre o eixo, a distância de um elemento de carga \mathrm{d}q até P é
r = \sqrt{R^2 + z^2}.
Pela lei de Coulomb, o módulo do campo gerado por \mathrm{d}q é
\mathrm{d}E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}q}{r^2}
e apenas a componente ao longo de z sobrevive pela simetria (as componentes radiais se cancelam). Como \cos\theta = z/r, temos
\mathrm{d}E_z = \mathrm{d}E\cos\theta = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}q}{(R^2+z^2)}\;\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{z\,\mathrm{d}q}{(R^2+z^2)^{3/2}}.
Integrando ao longo de todo o anel \displaystyle\int \mathrm{d}q=Q, obtemos
E_z(z) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,z}{\bigl(R^2+z^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

Para achar z que maximiza \lvert E_z(z)\rvert, basta tratar E_z(z) para z>0 (o módulo cresce e depois decresce). Definimos
f(z)=\frac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}},
e impondo \mathrm{d}f/\mathrm{d}z=0 obtemos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\Bigl[z\,(R^2+z^2)^{-3/2}\Bigr] = \frac{(R^2+z^2)-3z^2}{(R^2+z^2)^{5/2}} =0 \quad\Longrightarrow\quad R^2-2z^2=0.
Daí
z = \frac{R}{\sqrt{2}}.

Resposta

a) E_z(z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q\,z}{\bigl(R^2+z^2\bigr)^{3/2}},
direcionado ao longo de z.
b) O módulo de E_z é máximo em
z = \frac{R}{\sqrt{2}}.

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