33- A temperatura aproximada da superfície do Sol é de cerca de 6000 K . Qual é a ordem de grandeza aproximada da probabilidade de encontrar um átomo de hidrogênio em seu primeiro estado excitado ( 10,2 \mathrm{eV} acima de seu estado fundamental)?
Escolha uma opção:
a) 10-12
b) 10-9
c) 10-6
d) 10-3

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a ordem de grandeza aproximada da probabilidade de encontrar um átomo de hidrogênio no seu primeiro estado excitado, que está 10{,}2\\ \mathrm{eV} acima do estado fundamental, quando a temperatura da superfície do Sol é cerca de 6000\\ \mathrm{K}.\n
Dados fornecidos:
\Delta E = 10{,}2\\ \mathrm{eV}, \qquad T = 6000\\ \mathrm{K}.
A pergunta pede a ordem de grandeza da probabilidade (ou fração de átomos) no estado excitado.

Passo 2

Qual fórmula usar? Quando um sistema atômico está em equilíbrio térmico a temperatura T, a população relativa entre dois níveis de energia é dada pela distribuição de Boltzmann:
\frac{n_2}{n_1}=\frac{g_2}{g_1}\,e^{-\Delta E/(k_B T)},
onde:
  • n_2 é o número (ou fração) de átomos no nível excitado,
  • n_1 é o número (ou fração) de átomos no nível fundamental,
  • g_2 e g_1 são as degenerescências dos níveis (número de estados com mesma energia),
  • \Delta E é a diferença de energia entre os níveis (aqui 10{,}2\\ \mathrm{eV}),
  • k_B é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura em kelvin.\n
    Didático: a física por trás é que níveis com energia maior têm probabilidade menor dada por um fator exponencial e^{-\text{(energia)}/(k_BT)}. Para ordem de grandeza o fator exponencial é o que domina.

Passo 3

Escolha prática: para estimar a ordem de grandeza vamos calcular o expoente \Delta E/(k_B T). É conveniente usar k_B em unidades de \mathrm{eV/K}:
k_B \approx 8{,}617\times 10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
Então o denominador k_B T em eV é
k_B T = (8{,}617\times 10^{-5})\times 6000.

Passo 4

Calcule k_B T:
k_B T = 8{,}617\times10^{-5}\times 6000 \approx 0{,}5170\\ \mathrm{eV}.
Agora o expoente adimensional:
\frac{\Delta E}{k_B T}=\frac{10{,}2}{0{,}5170}\approx 19{,}7.

Passo 5

Calcule o fator exponencial e^{-19{,}7}. Para estimativa rápida:
e^{-20}\approx 2{,}06\times 10^{-9}.
Como -19{,}7=-20+0{,}3, temos
e^{-19{,}7}=e^{0{,}3}\,e^{-20}\approx 1{,}35\times 2{,}06\times 10^{-9}\approx 2{,}8\times 10^{-9}.
Portanto, sem considerar degenerescência, a razão n_2/n_1 é da ordem de 3\times 10^{-9}.

Passo 6

Observação sobre degenerescência (opcional, mas útil): para o hidrogênio o nível n=1 tem g_1=2 (contando spin) e o nível n=2 tem g_2=8, então g_2/g_1=4. Multiplicando pela degenerescência:
\frac{n_2}{n_1}\approx 4\times 2{,}8\times10^{-9}\approx 1{,}1\times10^{-8}.
Isso desloca o valor para cerca de 10^{-8}, mas em todos os casos estamos na faixa entre 10^{-9} e 10^{-8}. Como o enunciado pede ordem de grandeza aproximada e as opções oferecidas são escalas largas ( 10^{-12},10^{-9},10^{-6},10^{-3}), o valor mais próximo é 10^{-9}.

Passo 7

Interpretação final: o fator exponencial domina e dá aproximadamente 3\times10^{-9}, e mesmo incluindo degenerescência o resultado fica perto de 10^{-8}. Portanto a ordem de grandeza indicada nas opções é 10^{-9}.

Resposta

b) 10^{-9}

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