19- Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação: x(t)=(6,0 m) cos [(3 pi rad / s) t+pi / 3 rad]
a) Emt=2,0 s, qual é o deslocamento nesse movimento?
b) E m t=2,0 s , qual é a velocidade nesse movimento?
c) E m t=2,0 s , qual é a aceleração nesse movimento?
d) E m t=2,0 s, qual é a fase nesse movimento?
e) Qual é a frequência deste movimento?
f) Qual é o período deste movimento?
g) Qual é a energia mecânica do sistema?
Nesse intervalo de tempo identifique em que instantes;
e) A energia cinética é máxima,
f) A aceleração é máxima,
g) A energia potencial é igual a zero.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico simples (MHS) com
x(t)=l(6,0 mr),cosl[(3pi rad/s),t+tfracpi3r]
Para resolver as primeiras partes, vamos usar as fórmulas
v(t)=dxdt=-Aomegasin(omega t+phi), a(t)=d^2xdt^2=-Aomega^2cos(omega t+phi),
além de
omega=3pi, A=6,0 m, phi=tfracpi3
Depois, calculamos frequência, período e energia mecânica e, por fim, achamos instantes em 0<= t<=2,0 s em que a energia cinética é máxima ( x=0), a aceleração é máxima ( lvert xrvert=A) e a energia potencial é zero ( x=0).

Passo 2

Displacement em t=2,0 s:
x(2,0) =6,0cosl(3picdot2,0+tfracpi3r) =6,0cosl(6pi+tfracpi3r) =6,0costfracpi3 =6,0cdottfrac12 =3,0 m

Passo 3

Velocidade em t=2,0 s:
v(2,0)=-Aomegasin(omegacdot2,0+phi) =-6,0cdot3pi;sinl(6pi+tfracpi3r) =-18pisintfracpi3 =-18picdottfracraiz32 =-9raiz3,piapprox-49,0 m/s

Passo 4

Aceleração em t=2,0 s:
a(2,0)=-Aomega^2cos(omegacdot2,0+phi) =-6,0,(3pi)^2costfracpi3 =-6,0cdot9pi^2cdottfrac12 =-27pi^2approx-266 m/s^2

Passo 5

Fase em t=2,0 s:
theta(2,0)=omega t+phi =6pi+tfracpi3 equivtfracpi3pmod2pi

Passo 6

Frequência e período:
f=omega2pi=3pi2pi=tfrac32 Hz, T=1f=23 s

Passo 7

Energia mecânica (constante no MHS) em função da massa m:
Emec=tfrac12,momega^2A^2 =tfrac12,m,(3pi)^2,(6,0)^2 =162,m,pi^2 J

Passo 8

Instantes em 0<= t<=2,0 em que a energia cinética é máxima e a energia potencial é zero (ocorrem quando x=0, i.e. cos(omega t+phi)=0):
omega t+phi=tfracpi2+npi ;Longrightarrow; t=tfracpi2+npi-tfracpi33pi =118+ n3(ninZ)
Dentro de [0,2,0] temos
t=0,0556,;0,3889,;0,7222,;1,0556,;1,3889,;1,7222 s

Passo 9

Instantes em que a aceleração atinge valor máximo em módulo ( lvert arvert máximo quando lvert xrvert=A, i.e. cos(omega t+phi)=pm1):
omega t+phi=npi ;Longrightarrow; t=npi-tfracpi33pi =3n-19(ninZ)
Dentro de [0,2,0] obtemos
t=0,222,;0,556,;0,889,;1,222,;1,556,;1,889 s

Resposta

(a) x(2,0)=3,0 m
(b) v(2,0)=-9raiz3,piapprox-49,0 m/s
(c) a(2,0)=-27pi^2approx-266 m/s^2
(d) theta(2,0)equivpi/3 rad
(e) f=1,5 Hz
(f) T=2/3 s
(g) Emec=tfrac12,momega^2A^2=162,m,pi^2 J
Energia cinética máxima e energia potencial zero em
t=0,0556,;0,3889,;0,7222,;1,0556,;1,3889,;1,7222 s,
aceleração máxima em módulo em
t=0,222,;0,556,;0,889,;1,222,;1,556,;1,889 s

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