20- Um bloco de massa m0 é ligado a uma mola de constante elástica igual a k, que se encontra em equilíbrio na horizontal. A mola é comprimida de uma quantidade A e o bloco é abandonado a partir do repouso.
a) Qual é a amplitude do movimento de oscilação, e o período?
b) Quando o bloco passar pela posição de equilibrio da mola qual será sua velocidade?
c) Faça um gráfico representando o comportamento de x(t) e v(t) no intervalo de tempo 0 a T, onde T é o período de oscilação. (represente as duas funções no mesmo gráfico).
d) Esboce um gráfico representando o comportamento da energia cinética e da energia elástica da mola no intervalo de tempo 0 a T.
e) Se o bloco de massa m0 for substituído por um outro bloco de massa m1, qual deve ser a massa de m1 para que o período seja dividido por 2.
Suponha que o bloco de massa m1 esteja agora ligado a mola, e a mola é esticada da mesma quantidade A;
f) Calcule a energia cinética e a velocidade do bloco ao passar pela posição de equilíbrio da mola e compare com os valores obtidos no item b.

Passo 1

O enunciado trata de um bloco de massa m0 ligado a uma mola de constante k que é comprimida de A e solta em repouso. O movimento resultante é um movimento harmônico simples (MHS). Para resolver precisamos de:
– Lei de Hooke para força elástica: F = -k x.
– Equação do MHS: período T = 2piraizm/k.
– Conservação de energia mecânica: E = Urm el + K = constante.

Passo 2

(a) A amplitude do MHS é justamente a compressão inicial, ou seja
amplitude = A
O período do MHS é
T = 2piraizm0k

Passo 3

(b) Ao passar pela posição de equilíbrio a energia elástica inicial tfrac12,k A^2 vira energia cinética tfrac12,m0v^2. Logo
tfrac12,k A^2 = tfrac12,m0v^2 Longrightarrow v = Araizkm0

Passo 4

(c) As funções do MHS são
x(t) = Acos(omega t), v(t) = -Aomegasin(omega t),
onde omega = raizk/m0 e T=2pi/omega. Num gráfico de tin[0,T], x(t) é um cosseno que parte de A em t=0 e atinge zero em t=T/4; v(t) é um seno multiplicado por -Aomega, começando em zero e atingindo -Aomega em t=T/4.

Passo 5

(d) A energia cinética varia como
K(t)=tfrac12,m0v^2(t)=tfrac12,k A^2sin^2(omega t),
e a energia elástica como
Urm el(t)=tfrac12,k x^2(t)=tfrac12,k A^2cos^2(omega t)
Num gráfico de tin[0,T], Urm el e K oscilam em fase oposta e somam sempre tfrac12kA^2.

Passo 6

(e) Queremos T' = T/2 com a mesma mola, então
T' = 2piraizm1k = 12,2piraizm0k Longrightarrow raizm1 = 12raizm0 Longrightarrow m1 = m04

Passo 7

(f) Com m1=m0/4 e mesma compressão A, a energia elástica inicial é tfrac12kA^2 e vira energia cinética na passagem pelo equilíbrio:
tfrac12,kA^2 = tfrac12,m1v1^2 Longrightarrow v1 = Araizkm1 = Araizkm0/4 =2Araizkm0
A energia cinética então vale
K1 = tfrac12,m1v1^2 = tfrac12,kA^2,
ou seja, K1 permanece igual à do item (b), mas v1 é o dobro de v.

Resposta

(a) Amplitude =A e T=2piraizm0/k.
(b) v=Araizk/m0.
(c) x(t)=Acos(omega t), v(t)=-Aomegasin(omega t) em tin[0,T].
(d) K(t)=tfrac12kA^2sin^2(omega t), Urm el(t)=tfrac12kA^2cos^2(omega t).
(e) m1=m0/4.
(f) v1=2Araizk/m0, K1=tfrac12kA^2 (igual ao caso original).

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