Dados espaços vetoriais V e W, bases \alpha de V e \beta de W, [T]_{\beta}^{\alpha} e v \in V, calcule T(v) matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de T e verifique sua resposta.
(b) V=\mathbb{R}^{2}, W=P_{1}(\mathbb{R}), \alpha=\{(1,-1),(1,1)\}, \beta=\{x, 1+x\},[T]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & -4\end{array}\right], v=(0,1).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^2 com base
\alpha=\{(1,-1),(1,1)\}, o espaço W=P_1(\mathbb{R}) com base
\beta=\{x,\;1+x\} e a matriz de T\colon V\to W em relação a essas bases
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ 3 & -4 \end{pmatrix}.
Queremos (i) calcular T(v) matricialmente para v=(0,1), (ii) obter a fórmula geral de
T(x,y) como polinômio em W e (iii) verificar que o valor para v coincide.

Passo 2

Primeiro achamos as coordenadas de v=(0,1)\) na base \(\alpha\). Buscamos escalares \(a,b\) tais que \[a\,(1,-1)+b\,(1,1)=(0,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a+b=0,\\\\ -\,a+b=1. \end{cases}
Da primeira equação b=-a\]. Substituindo na segunda: \(-a +(-a)=1\Rightarrow -2a=1\Rightarrow a=-\tfrac{1}{2},
então b=\tfrac{1}{2}. Logo
[v]_{\alpha} =\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora multiplicamos pela matriz de T para obter as coordenadas de T(v) na base \beta:
[T(v)]_{\beta} =\begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot(-\tfrac{1}{2})+(-1)\cdot\tfrac{1}{2}\\[6pt] 3\cdot(-\tfrac{1}{2})+(-4)\cdot\tfrac{1}{2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[4pt]-\tfrac{7}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Convertendo de coordenadas \beta para o polinômio em W: se
[T(v)]_{\beta}=\bigl(-\tfrac32,\,-\tfrac72\bigr)^T, então
T(v) =-\tfrac32\,x\;+\;\Bigl(-\tfrac72\Bigr)\,(1+x) =-\tfrac32\,x-\tfrac72-\tfrac72\,x =-5\,x-\tfrac72.
Portanto
T(0,1)(t)=-5\,t-\tfrac72.

Passo 5

Para achar a fórmula geral de T(x,y), calculamos primeiro T nos vetores de \alpha. Pelas colunas de [T]_{\beta}^{\alpha}:
  • A primeira coluna \bigl(2,3\bigr)^T mostra
T(1,-1)=2\cdot x + 3\cdot(1+x)=5\,x+3.
  • A segunda coluna \bigl(-1,-4\bigr)^T mostra
T(1,1)=-1\cdot x +(-4)\cdot(1+x)=-5\,x-4.

Passo 6

Dados (x,y)\in\mathbb{R}^2, escrevemos
(x,y)=a\,(1,-1)+b\,(1,1),
onde já vimos em geral
a=\frac{x-y}{2}, \quad b=\frac{x+y}{2}.
Como T é linear,
T(x,y) =a\,T(1,-1)+b\,T(1,1) =a\,(5\,t+3)+b\,(-5\,t-4).
Fazendo as contas:
T(x,y)(t) =(5a-5b)\,t+(3a-4b).
Substituindo a e b:
5a-5b=5\Bigl(\frac{x-y}{2}-\frac{x+y}{2}\Bigr)=-5y, \qquad 3a-4b=\frac{3(x-y)-4(x+y)}{2}=-\frac{x+7y}{2}.
Logo a expressão final é
T(x,y)(t) =-5\,y\,t\;-\;\frac{x+7y}{2}.

Passo 7

Verificamos em (x,y)=(0,1):
T(0,1)(t) =-5\cdot1\cdot t \;-\;\frac{0+7\cdot1}{2} =-5\,t-\tfrac72,
que coincide com o resultado do passo 4.

Resposta

T(0,1)(t)=-5\,t-\dfrac{7}{2}
Fórmula geral:
T(x,y)(t)=-5\,y\,t-\frac{x+7y}{2}.

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