Dados espaços vetoriais V e W, bases \alpha de V e \beta de W, [T]_{\beta}^{\alpha} e v \in V, calcule T(v) matricialmente. Em seguida, calcule a fórmula de T e verifique sua resposta.
(b) V=\mathbb{R}^{2}, W=P_{1}(\mathbb{R}), \alpha=\{(1,-1),(1,1)\}, \beta=\{x, 1+x\},[T]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & -4\end{array}\right], v=(0,1).
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^2 com base \alpha=\{(1,-1),(1,1)\}, o espaço W=P_1(\mathbb{R}) com base \beta=\{x,\;1+x\} e a matriz de T\colon V\to W em relação a essas bases
Queremos (i) calcular T(v) matricialmente para v=(0,1), (ii) obter a fórmula geral de T(x,y) como polinômio em W e (iii) verificar que o valor para v coincide.
Passo 2
Primeiro achamos as coordenadas de v=(0,1)\) na base \(\alpha\). Buscamos escalares \(a,b\) tais que
\[a\,(1,-1)+b\,(1,1)=(0,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a+b=0,\\\\ -\,a+b=1. \end{cases}
Da primeira equação b=-a\]. Substituindo na segunda: \(-a +(-a)=1\Rightarrow -2a=1\Rightarrow a=-\tfrac{1}{2},