1.22 O traço, , de uma matriz qualquer é a soma dos elementos da diagonal principal. Considere duas matrizes e ,
Calcule e verifique:
a) tr(A)
b) tr(B)
c) tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
d) tr(k A)=k tr(A), para k=3.
e) tr(A^prime)=tr(A)
f) tr(A B)=tr(B A)
Passo 1
O enunciado define o traço de uma matriz A como a soma dos elementos da diagonal principal, e nos dá duas matrizes quadradas A e B. Vamos usar propriedades básicas do traço: linearidade, comportamento com escalar, invariança sob transposição e propriedade cíclica.
Passo 2
Para calcular tr(A) somamos os elementos da diagonal principal de
A= 2 & -5 & 8 3 & -6 & -7 4 & 0 & 1
Logo,
tr(A) = 2 + (-6) + 1 = -3
Passo 3
Para tr(B) usamos
B= 1 & 3 & -4 6 & 1 & 7 2 & -5 & -1 ,
então
tr(B) = 1 + 1 + (-1) = 1
Passo 4
Para verificar tr(A + B) = tr(A) + tr(B), primeiro somamos as diagonais de A+B: