1.22 O traço, tr(A), de uma matriz qualquer A é a soma dos elementos da diagonal principal. Considere duas matrizes A e B,
A=[ccc 2 & -5 & 8 3 & -6 & -7 4 & 0 & 1 ], B=[ccc 1 & 3 & -4 6 & 1 & 7 2 & -5 & -1 ]
Calcule e verifique:
a) tr(A)
b) tr(B)
c) tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
d) tr(k A)=k tr(A), para k=3.
e) tr(A^prime)=tr(A)
f) tr(A B)=tr(B A)

Passo 1

O enunciado define o traço de uma matriz A como a soma dos elementos da diagonal principal, e nos dá duas matrizes quadradas A e B. Vamos usar propriedades básicas do traço: linearidade, comportamento com escalar, invariança sob transposição e propriedade cíclica.

Passo 2

Para calcular tr(A) somamos os elementos da diagonal principal de
A= 2 & -5 & 8 3 & -6 & -7 4 & 0 & 1
Logo,
tr(A) = 2 + (-6) + 1 = -3

Passo 3

Para tr(B) usamos
B= 1 & 3 & -4 6 & 1 & 7 2 & -5 & -1 ,
então
tr(B) = 1 + 1 + (-1) = 1

Passo 4

Para verificar tr(A + B) = tr(A) + tr(B), primeiro somamos as diagonais de A+B:
A+B= 2+1 & * & * * & -6+1 & * * & * & 1+(-1) = 3 & * & * * & -5 & * * & * & 0
Assim,
tr(A+B) = 3 + (-5) + 0 = -2,
e de fato
tr(A) + tr(B) = (-3) + 1 = -2

Passo 5

Para o escalar k=3, a matriz 3A tem diagonal 3cdot2,,3cdot(-6),,3cdot1. Logo,
tr(3A) = 3cdot2 + 3cdot(-6) + 3cdot1 = 6 - 18 + 3 = -9,
e
3,tr(A) = 3cdot(-3) = -9

Passo 6

A transposta A' mantém a diagonal principal de A, logo
tr(A') = tr(A) = -3

Passo 7

Para mostrar tr(AB) = tr(BA), basta calcular os traços de ambos. Das contas de produtos,
tr(AB) = (-12) + 38 + (-17) = 9,
tr(BA) = (-5) + (-36) + 50 = 9
Portanto ambos são iguais.

Resposta

a) tr(A) = -3
b) tr(B) = 1
c) tr(A+B) = -2 = tr(A) + tr(B)
d) tr(3A) = -9 = 3,tr(A)
e) tr(A') = -3 = tr(A)
f) tr(AB) = 9 = tr(BA)

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